Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Сторона ромба по диагонали

Одна из диагоналей ромба равна 6, а его площадь равна 24. Найдите сторону ромба.

1. 1
   Используем формулу площади ромба и найдём вторую диагональ.$$24 = \dfrac{6d_2}{2},\quad d_2 = 8$$
2. 2
   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей равны $3$ и $4$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна 22, а $\tg A = 1{,}1$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AM=MC$ и $AC=2AM$.$$AC=2AM$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению тангенса угла $A$:$$\tg A=\frac{BM}{AM}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике одна из сторон равна 21, а диагональ равна 29. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. 1
   Обозначим неизвестную сторону прямоугольника через $b$. По теореме Пифагора:$$21^2 + b^2 = 29^2$$
2. 2
   Найдём вторую сторону:$$b^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400,\quad b = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 13$, $AC = 10$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 5$$
2. 2
   Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому медиана $BM$ является также высотой. В прямоугольном треугольнике $ABM$ применяем теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$$

Косинус угла по диаметру

На окружности радиуса 20 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 4$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Диаметр окружности равен двум радиусам:$$AB = 2R = 2 \cdot 20 = 40$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса. В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$:$$\cos \angle BAC = \frac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по углу

Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна 36.

1. 1
   Площадь квадрата равна $a^2 = 36$, значит его сторона, а значит и сторона ромба, равна:$$a = \sqrt{36} = 6$$
2. 2
   Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла:$$S = a^2 \sin 30^\circ = 6^2 \cdot \frac{1}{2} = 18$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника 96. Один из катетов 12. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Выразим второй катет из формулы площади прямоугольного треугольника.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 96}{12} = 16$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$

Диагональ прямоугольника

Площадь прямоугольника равна 108, а одна из сторон равна 12. Найдите длину диагонали этого прямоугольника.

1. 1
   Найдём длину второй стороны прямоугольника по известной площади:$$b = \dfrac{108}{12} = 9$$
2. 2
   Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами 12 и 9. По теореме Пифагора:$$d = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 28 и 100, боковая сторона равна 60. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания. Горизонтальный отрезок у каждой боковой стороны равен половине разности оснований:$$x=\dfrac{100-28}{2}=36$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту трапеции:$$h=\sqrt{60^2-36^2}=\sqrt{2304}=48$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 10^\circ$ и $\angle BDC = 109^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол при вершине $D$ трапеции складывается из углов $BDA$ и $BDC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 10^\circ + 109^\circ = 119^\circ$$
2. 2
   Так как боковые стороны трапеции равны ($AB = CD$), трапеция равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 119^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 34$, $AC = 32$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Его диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, применяем теорему Пифагора:$$34^2 = 16^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=\sqrt{13}$, $\sin A=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, гипотенуза треугольника — сторона $AB$. По определению синуса:$$\sin A=\frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC=AB\cdot\sin A=\sqrt{13}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол, опирающийся на дугу

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 23^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому величина дуги $DA$ вдвое больше угла $DBA$.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot 23^\circ=46^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-46^\circ=134^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 65, сторона $BC = 10$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $AB = CD$, найдём вторую сторону:$$AB = \frac{S}{BC} = \frac{65}{10} = 6{,}5$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий катет — $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{6{,}5}{10} = 0{,}65$$

Биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 60$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы треугольника при вершинах $A$ и $C$ являются дополнительными к внешним:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Так как углы при основании равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, причём $AB = BC$. Биссектриса $BK$ из вершины равнобедренного треугольника является также высотой.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $4$. Площадь треугольника $ABC$ равна $8\sqrt{5}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ является также высотой и делит основание пополам.
2. 2
   Из формулы площади найдём длину основания:$$AC = \dfrac{2S}{BM} = \dfrac{2 \cdot 8\sqrt{5}}{4} = 4\sqrt{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 9$, $BC = 6$, а её площадь равна 75. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Обозначим высоту трапеции через $h$. Используем формулу площади трапеции:$$75 = \dfrac{9+6}{2}h$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции:$$h = \dfrac{75\cdot 2}{15}=10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $9$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, имеют величину:$$\alpha=\frac{240^\circ}{2}=120^\circ$$
2. 2
   Соседний угол ромба является дополнительным к нему:$$\beta=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 45^\circ$ и $\angle BDC = 23^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как в трапеции боковые стороны равны: $AB = CD$, трапеция является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC$$
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на два угла, поэтому:$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 45^\circ + 23^\circ = 68^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 83^\circ$ и $\angle BDC = 12^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как в трапеции $ABCD$ боковые стороны равны ($AB = CD$), трапеция равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны: $\angle BAD = \angle ADC$.
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$:$$\angle ADC = 83^\circ + 12^\circ = 95^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении