Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 24^\circ$ и $\angle BDC = 70^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из условия $AB = CD$, поэтому трапеция $ABCD$ равнобедренная. Следовательно, углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle CDA$$
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $CDA$ на углы $BDC$ и $BDA$.$$\angle CDA = \angle BDC + \angle BDA = 70^\circ + 24^\circ = 94^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$. Площадь треугольника равна 20. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами.$$S = \dfrac{1}{2}AC \cdot BC$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$:$$AC = \dfrac{2S}{BC} = \dfrac{2 \cdot 20}{5} = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $18^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен соответствующей касательной. Поэтому $\angle CAO = 90^\circ$ и $\angle CBO = 90^\circ$.$$OA \perp AC,\quad OB \perp BC$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 18^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр параллелограмма

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 16 и 30. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Половины диагоналей ромба равны $16 : 2 = 8$ и $30 : 2 = 15$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 30$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$A=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
2. 2
   Угол $C$ прямой, поэтому катет $BC$ лежит напротив угла $30^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $2\sqrt{5}$, а один из катетов равен $2$.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет.$$b=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.$$S=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=4$$

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $245$, сторона $BC = 35$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $AD = BC = 35$, найдём другую сторону:$$AB = \frac{245}{35} = 7$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD = 7$, прилежащий катет — $AD = 35$.$$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5} = 0{,}2$$

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 40$, $AC = 48$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   Половина диагонали $AC$ равна $24$. По теореме Пифагора для половин диагоналей и стороны ромба:$$40^2 = 24^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона параллелограмма

Обе диагонали параллелограмма равны 61. Одна из сторон параллелограмма равна 60. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон.$$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$$
2. 2
   Подставим известные значения диагоналей и одной стороны:$$61^2+61^2=2(60^2+b^2)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Синус угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $108$, $BC = 12$. Найдите синус угла $CAB$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AB$:$$AB = \dfrac{108}{12} = 9$$
2. 2
   Диагональ $AC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABC$:$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна 20, а $\tg A = 1{,}6$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg A=\frac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём длину половины основания:$$AM=\frac{BM}{\tg A}=\frac{20}{1{,}6}=12{,}5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 8$, $BC = 4$, а её площадь равна 21. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Обозначим высоту трапеции через $h$. Площадь треугольника $ABC$ с основанием $BC$ равна:$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h = 2h$$
2. 2
   Площадь трапеции равна:$$S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{8+4}{2}h = 6h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана и высота треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 25$, $AC = 120$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{120}{2} = 60$$
2. 2
   Медиана $BM$ перпендикулярна $AC$, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $15$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Так как сумма двух углов равна $240^\circ$, это сумма двух равных тупых углов: каждый из них равен $120^\circ$. Тогда острые углы равны $60^\circ$.$$2\alpha=240^\circ,\quad \alpha=120^\circ,\quad 180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба, проведённая между острыми углами, выражается через сторону $a$ и половину острого угла:$$d=2a\sin\frac{60^\circ}{2}=2a\sin30^\circ=a$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 19$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза, поэтому применяем синус угла $A$.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{19}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике одна из сторон равна 40, а диагональ равна 41. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. 1
   Стороны прямоугольника и диагональ образуют прямоугольный треугольник.$$b^2 + 40^2 = 41^2$$
2. 2
   Найдём вторую сторону прямоугольника:$$b = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{1681 - 1600} = \sqrt{81} = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вписанный угол и дуга

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{3}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет одну треть окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{1}{3} = 120^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла:$$\beta = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

Площадь прямоугольного треугольника

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $\sqrt{29}$, а один из катетов равен 2.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{(\sqrt{29})^2-2^2}=\sqrt{29-4}=5$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:$$S=\frac{1}{2}\cdot2\cdot5=5$$

Синус угла в окружности

На окружности радиуса 12 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 15$. Найдите $\sin \angle ABC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ опирается на диаметр и является прямым.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности равен двум радиусам.$$AB = 2R = 2 \cdot 12 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 24, боковая сторона равна 25. Найдите высоту трапеции.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания. В получившемся прямоугольном треугольнике горизонтальный катет равен половине разности оснований:$$x=\frac{24-10}{2}=7$$
2. 2
   Боковая сторона трапеции является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:$$h^2+7^2=25^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении