Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $134^\circ$, угол $CAD$ равен $81^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина в два раза больше угла $ABC$.$$\overset{\frown}{ADC}=2\cdot134^\circ=268^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot81^\circ=162^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя линия треугольника

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 24. Гипотенуза равна 26. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём меньший катет:$$b = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = 10$$
2. 2
   Наименьшая средняя линия соединяет середины двух сторон, одна из которых является меньшим катетом. Она равна половине этого катета:$$l = \dfrac{10}{2} = 5$$

Длина хорды окружности

На окружности радиусом $\sqrt{5}$ отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 4$. Найдите длину хорды $BC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Найдём диаметр окружности.$$AB = 2R = 2\sqrt{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона треугольника по углу

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 4\sqrt{3}$, $AC = 8\sqrt{3}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.

1. 1
   Внутренний угол треугольника при вершине $C$ является смежным с внешним углом:$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   По теореме косинусов:$$AB^2 = (8\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза по внешнему углу

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 24$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ в сумме дают $180^\circ$.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим катетом, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 50$, $\cos A = \dfrac{7}{25}$. Найдите длину стороны $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса угла:$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 50 \cdot \frac{7}{25} = 14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма по диагоналям

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 21$, $AC = BD = 29$. Найдите площадь параллелограмма.

1. 1
   Так как диагонали параллелограмма равны, параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
2. 2
   Найдём вторую сторону прямоугольника по теореме Пифагора:$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{400} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 56$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Поскольку $AB$ — диаметр, центральный угол $\angle AOB$ равен $180^\circ$. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды выражается через радиус и центральный угол:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $9$, а $\tg A = 1{,}8$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём длину половины основания:$$AM = \dfrac{BM}{\tg A} = \dfrac{9}{1{,}8} = 5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $12$, $\tg \angle CAD = 0{,}36$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $CD$ равна стороне $AB$, поэтому $CD = 12$.$$CD = AB = 12$$
2. 2
   По определению тангенса угла $CAD$:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = 0{,}36$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 48, площадь треугольника равна 240. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Найдём высоту треугольника из формулы площади:$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 240}{48} = 10$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам:$$\dfrac{AC}{2} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол треугольника с биссектрисой

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $58^\circ$, угол $ABC$ равен $54^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим искомый угол $ACB$ через $x$. Тогда по сумме углов треугольника $ABC$ угол $A$ равен:$$\angle A=180^\circ-54^\circ-x=126^\circ-x$$
2. 2
   Поскольку $AL$ — биссектриса, угол $CAL$ равен половине угла $A$:$$\angle CAL=\frac{126^\circ-x}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Синус угла в окружности

На окружности радиусом 6 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$. Найдите $\sin \angle ABC$.

1. 1
   Диаметр окружности равен удвоенному радиусу.$$AB = 2R = 2 \cdot 6 = 12$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 10$, сторона $AB = \sqrt{26}$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   В ромбе все стороны равны, поэтому в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$.
2. 2
   Высота из вершины $B$ к основанию $AC$ делит диагональ пополам: $AH=HC=5$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна 240. Один из катетов равен 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По формуле площади прямоугольного треугольника найдём второй катет:$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 240}{30} = 16$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{1156} = 34$$

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 15$, $\cos A = 0{,}6$. Найдите высоту $CH$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, $AB$ — гипотенуза. Из условия $\cos A = \dfrac{AC}{AB} = 0{,}6$.
2. 2
   По теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$. С учётом $AC = 0{,}6AB$ и $BC = 15$ получаем $AB = 18{,}75$, $AC = 11{,}25$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 21 и 57, боковая сторона равна 82. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется по бокам. Горизонтальная проекция боковой стороны равна:$$x=\frac{57-21}{2}=18$$
2. 2
   Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой 82:$$h=\sqrt{82^2-18^2}=\sqrt{6724-324}=80$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина отрезка между серединами

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 48$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 10. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой, поэтому$$AK = KC = \frac{AC}{2} = 24$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. По теореме Пифагора найдём боковую сторону:$$AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{676} = 26$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 13$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Обозначим $AH=x$. Тогда $HC=13-x$, а так как $M$ — середина стороны $AC$, то $AM=MC=6{,}5$. Следовательно, $HM=x-6{,}5$.
2. 2
   По теореме Пифагора для треугольников $BHC$ и $BHM$, учитывая условие $BC=BM$, получаем:$$(13-x)^2+BH^2=(x-6{,}5)^2+BH^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $25^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABD$ — вписанный, поэтому дуга $AD$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot25^\circ=50^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ также является вписанным и опирается на дугу $CD$.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot41^\circ=82^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении