Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $77$, сторона $BC = 10$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{BC} = \dfrac{77}{10} = 7{,}7$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$. При этом $CD = AB = 7{,}7$ и $AD = BC = 10$:$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{7{,}7}{10} = 0{,}77$$

Отношение площадей треугольников

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=5:7$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?

1. 1
   Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B$. Площади треугольников, образованных двумя сторонами этого угла, относятся как произведение отношений соответствующих сторон.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}$$
2. 2
   Подставим данные из условия.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{7}=\frac{5}{14}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагоналям

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 60 и 32. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому их половины равны $30$ и $16$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Биссектриса в треугольнике

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 24$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary внешним, поэтому каждый из них равен $30^\circ$.$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Треугольник равнобедренный: $AB=BC=24$. Угол при вершине $B$ равен $120^\circ$, а биссектриса $BK$ делит его пополам и является высотой.$$\angle ABK = 60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{13}$, $BC = 26$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$AC = BC \cdot \tg B = 26 \cdot \dfrac{7}{13} = 14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $35^\circ$, угол $CAD$ равен $51^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, поэтому её величина равна:$$\overset{\frown}{AD}=2\cdot 35^\circ=70^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому:$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot 51^\circ=102^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 20^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 5. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшая дуга соответствует центральному углу $20^\circ$, поэтому её длина составляет $\dfrac{20}{360}$ длины окружности.$$\frac{5}{L} = \frac{20}{360}$$
2. 2
   Найдём длину всей окружности:$$L = 5 \cdot \frac{360}{20} = 90$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол правильного девятиугольника

$ABCDEFGHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $BDE$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол правильного девятиугольника равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
2. 2
   Угол $BDE$ является вписанным и опирается на дугу $BE$, не содержащую вершину $D$. Эта дуга включает 6 равных дуг.$$\overset{\frown}{BE}=6\cdot40^\circ=240^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника равен 30, одна из средних линий равна 8. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Значит, сторона, параллельная данной средней линии, равна:$$2 \cdot 8 = 16$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике эта сторона является вторым катетом. По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34$$

Угол в выпуклом четырехугольнике

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 55^\circ$, $\angle D = 117^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из равенств $AB = BC$ и $AD = CD$ следует, что треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам. Поэтому диагональ $BD$ делит углы $B$ и $D$ пополам.$$AB=BC,\ AD=CD,\ BD=BD$$
2. 2
   Найдём углы треугольника $ABD$ при вершинах $B$ и $D$.$$\angle ABD=\frac{55^\circ}{2}=27{,}5^\circ,\quad \angle BDA=\frac{117^\circ}{2}=58{,}5^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол правильного десятиугольника

$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $DBJ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В правильном десятиугольнике центральный угол, соответствующий одной стороне, равен:$$\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
2. 2
   Угол $DBJ$ — вписанный. Он опирается на дугу $DJ$, не содержащую вершину $B$. Эта дуга включает стороны $DE$, $EF$, $FG$, $GH$, $HI$, $IJ$, то есть шесть равных дуг.$$m\widehat{DJ}=6\cdot36^\circ=216^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 30$, $AC = 24$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Катет $AC$ прилежит к углу $B$.$$AB = 30,\quad AC = 24$$
2. 2
   Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.$$\cos B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{24}{30} = 0.6$$

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 60$, площадь ромба равна 360. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Найдём диагональ $BD$:$$360 = \dfrac{60 \cdot BD}{2},\quad BD = 12$$
2. 2
   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Поэтому $AO = 30$, $BO = 6$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $63$, $\tan \angle CAD = \dfrac{7}{27}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 63$.$$AD = 63$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{7}{27}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{26}$, $BC = 1$. Найдите $\tg A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора найдём катет $AC$:$$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 26 - 1 = 25$$
2. 2
   Следовательно, $AC = 5$. Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{5}$$

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 37$, $AC = 24$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам:$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ применяем теорему Пифагора:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{37^2 - 12^2} = \sqrt{1369 - 144} = \sqrt{1225} = 35$$

Высота равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, боковая сторона равна 5. Найдите высоту трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $13 - 7 = 6$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется по бокам, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $6 : 2 = 3$.$$x = \frac{13 - 7}{2} = 3$$
2. 2
   Высота трапеции и горизонтальная проекция боковой стороны образуют с боковой стороной прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём высоту.$$h^2 + 3^2 = 5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 10 и 80. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 48. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту, опущенную на неё.$$S = 10 \cdot 48 = 480$$
2. 2
   Та же площадь выражается через большую сторону и искомую высоту.$$S = 80h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 5^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $CD \parallel AB$, угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$ равен $5^\circ$.
2. 2
   Пусть $AB=1$. По условию $AC=2$. Направим вектор $AB$ горизонтально. Тогда вектор диагонали $AC$ имеет направление $5^\circ$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Тангенс угла в прямоугольнике

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 600, сторона $AB = 15$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{600}{15} = 40$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$, то есть $CD = 15$. Для угла $CAD$:$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{15}{40} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$$