Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 18, $\tg \angle CAD = 0{,}6$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$ прямоугольника:$$CD = AB = 18$$
2. 2
   По определению тангенса угла $CAD$:$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{18}{AD} = 0{,}6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Синус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 12$, $AC = 3\sqrt{7}$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 12^2 - (3\sqrt{7})^2 = 144 - 63 = 81$$
2. 2
   Следовательно, $BC = 9$. Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$$

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{5}{13}$. Гипотенуза $AB = 39$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, гипотенуза треугольника — сторона $AB$. По определению косинуса:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 39 \cdot \frac{5}{13} = 15$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь ромба по углу

Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна $34$.

1. 1
   Стороны ромба и квадрата равны, поэтому квадрат стороны ромба равен площади квадрата:$$a^2 = 34$$
2. 2
   Площадь ромба вычисляется по формуле через сторону и угол между сторонами:$$S = a^2\sin 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 50$, $AC = 96$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   Половина диагонали $AC$ равна $AC/2 = 96/2 = 48$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB = 50$ по теореме Пифагора найдём половину диагонали $BD$:$$\left(\frac{BD}{2}\right)^2 + 48^2 = 50^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \frac{15}{17}$. Гипотенуза $AB = 34$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 34 \cdot \frac{15}{17} = 30$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 13 и 19, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции равна перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 8\sin 150^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$
2. 2
   Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.$$S = \frac{13+19}{2}\cdot 4 = 16\cdot 4 = 64$$

Угол по диаметру окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 8^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, равна удвоенному углу.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot 8^\circ=16^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, верхняя полуокружность $A D B$ имеет величину $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-16^\circ=164^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 50$, $AC = 14$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём катет $BC$:$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2304} = 48$$
2. 2
   Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{48}{50} = 0{,}96$$

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 52^\circ$ и $\angle BDC = 26^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому$$\angle ADC = 52^\circ + 26^\circ = 78^\circ$$
2. 2
   Так как $AB = CD$, трапеция $ABCD$ равнобедренная. Углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC = 78^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 12$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Поэтому гипотенуза в два раза больше катета $BC$.$$AB = 2BC = 2 \cdot 12 = 24$$

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $36$, $\tg \angle CAD = \dfrac{5}{18}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Для прямоугольного треугольника, образованного диагональю $AC$, выразим длину стороны $AD$ через заданный тангенс:$$\tg \angle CAD = \dfrac{AD}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$:$$AD = 36 \cdot \dfrac{5}{18} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 11. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана, $AM = MC$. Поскольку $BM$ — биссектриса, по теореме о биссектрисе $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AM}{MC} = 1$. Следовательно, $AB = BC$.$$AB = BC$$
2. 2
   Треугольник $ABC$ равнобедренный, а медиана к основанию одновременно является высотой. Угол $B$ разделён пополам, поэтому $\angle ABM = 60^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 58$, $AC = 80$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике половины диагоналей являются катетами, а сторона ромба — гипотенузой.$$58^2 = 40^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя линия трапеции

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с бо́льшим основанием $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 8$, $BC = CD = 10$. Найдите среднюю линию трапеции.

1. 1
   Проведём из вершины $C$ перпендикуляр к большему основанию $AD$. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $CD = 10$ и высотой, равной $AB = 8$.$$h = AB = 8$$
2. 2
   Найдём горизонтальную проекцию боковой стороны $CD$, то есть разность оснований.$$x = \sqrt{CD^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 20$, $\cos A = 0{,}6$. Найдите высоту $CH$.

1. 1
   По определению косинуса угла $A$:$$\cos A = \frac{AC}{AB} = 0{,}6$$
2. 2
   Так как треугольник прямоугольный, синус угла $A$ равен $0{,}8$. Следовательно, $\frac{BC}{AB}=0{,}8$, откуда:$$AB = \frac{BC}{0{,}8} = \frac{20}{0{,}8} = 25$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя линия треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 9$, боковая сторона $BC = 41$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$BK \perp AC$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём половину основания:$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1600} = 40$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 9 и 21, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h=8\sin150^\circ=8\cdot\frac{1}{2}=4$$
2. 2
   Вычислим площадь трапеции по формуле через основания и высоту.$$S=\frac{9+21}{2}\cdot4=60$$

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 53$, $AC = 56$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 28$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{53^2 - 28^2} = \sqrt{2025} = 45$$

Ширина прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 50 см, а высота экрана — 30 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Ширина, высота и диагональ прямоугольника образуют прямоугольный треугольник.$$w^2 + 30^2 = 50^2$$
2. 2
   Выразим ширину экрана:$$w = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40$$