Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Длина хорды BC

На окружности радиусом 3 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 3\sqrt{3}$. Найдите длину хорды $BC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности равен двум радиусам:$$AB = 2R = 2 \cdot 3 = 6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина отрезка KP

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 48$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 7. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$ является медианой основания $AC$.$$AK = KC = \dfrac{AC}{2} = 24$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём боковую сторону $AB$:$$AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $65^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OA\perp CA$ и $OB\perp CB$.$$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB=360^\circ-65^\circ-90^\circ-90^\circ=115^\circ$$

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 27$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ являются противоположными. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Радиусы $OA$ и $OC$ равны. Обозначим радиус окружности через $R$ и применим теорему косинусов к треугольнику $AOC$.$$AC^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos 60^\circ = R^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 75$, $\sin A = \dfrac{24}{25}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам. Обозначим половину основания через $x$, а высоту через $h$.$$x = AB\cos A, \quad h = AB\sin A$$
2. 2
   Вычислим косинус угла $A$:$$\cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2} = \frac{7}{25}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 23$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Так как треугольник прямоугольный, угол $C = 90^\circ$, поэтому угол $B$ равен $30^\circ$.$$B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 22$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Поэтому применяем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{22}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по медиане

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \frac{1}{5}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 5. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, поэтому $AM = \frac{1}{2}AC$.
2. 2
   Точка $K$ расположена на стороне $AB$, причём $AK = \frac{1}{5}AB$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 18$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина проекции катета

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 16$, $\sin A = 0{,}25$. Найдите длину отрезка $BH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABC$ синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы $AB$.$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{16}{0{,}25} = 64$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона параллелограмма по диагонали

Обе диагонали параллелограмма равны 17. Одна из сторон параллелограмма равна 8. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
2. 2
   Диагональ прямоугольника, его сторона 8 и неизвестная сторона образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$x^2 + 8^2 = 17^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{2}{9}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\dfrac{2}{9}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{2}{9} = 80^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального:$$\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$$

Длина боковой стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $5$. Площадь треугольника $ABC$ равна $10\sqrt{6}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой и делит основание пополам.
2. 2
   Найдём длину основания из формулы площади:$$10\sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 5$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Косинус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $AC = 2\sqrt{19}$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём катет $BC$:$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - (2\sqrt{19})^2} = \sqrt{400 - 76} = 18$$
2. 2
   Косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{18}{20} = 0.9$$

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 61$, $AC = 22$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то все его стороны равны, поэтому $ABCD$ — ромб.$$AB = BC = CD = DA = 61$$
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половина диагонали $AC$ равна $22 : 2 = 11$.$$AO = \frac{AC}{2} = 11$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 5$, $AC = \sqrt{21}$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 5^2 - (\sqrt{21})^2 = 25 - 21 = 4$$
2. 2
   Следовательно, $BC = 2$. Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{2}{5} = 0,4$$

Меньшая боковая сторона трапеции

В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.

1. 1
   Разность оснований равна горизонтальному катету прямоугольного треугольника:$$7 - 4 = 3$$
2. 2
   Угол при наклонной боковой стороне равен $135^\circ$, поэтому острый угол образованного прямоугольного треугольника равен $45^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 29^\circ$. Найдите величину угла $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA}=2\cdot 29^\circ=58^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $DAB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$. Найдём дугу $DB$, не содержащую точку $C$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-58^\circ=122^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 19, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{19}{1/2} = 38$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = 0{,}96$. Гипотенуза $AB = 50$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, гипотенуза — сторона $AB$. По определению косинуса:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 50 \cdot 0{,}96 = 48$$

Ещё 2 шага — в полном решении