Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 18, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Выразим сторону ромба через высоту и острый угол:$$h = a\sin 30^\circ$$
2. 2
   Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, найдём сторону ромба:$$a = \frac{18}{\sin 30^\circ} = \frac{18}{1/2} = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по углу

Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна $64$.

1. 1
   Найдём сторону квадрата, используя формулу площади квадрата.$$a^2 = 64 \Rightarrow a = 8$$
2. 2
   Сторона ромба равна стороне квадрата. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.$$S = a^2\sin\alpha$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение площадей треугольников

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=2:3$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?

1. 1
   Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B$. Их площади можно выразить через две стороны и синус угла между ними.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM\cdot BK\cdot\sin B}{BA\cdot BC\cdot\sin B}$$
2. 2
   Подставим отношения длин сторон из условия.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол правильного восьмиугольника

$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $DBE$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В правильном восьмиугольнике центральный угол, соответствующий одной стороне, равен:$$\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ$$
2. 2
   Угол $DBE$ является вписанным и опирается на дугу $DE$. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.$$\angle DBE=\dfrac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ$$

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{13}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\dfrac{13}{36}$ длины окружности, поэтому её градусная мера равна соответствующей доле полного угла:$$360^\circ \cdot \dfrac{13}{36}=130^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине её градусной меры:$$\dfrac{130^\circ}{2}=65^\circ$$

Боковая сторона равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $28$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании и внешний угол образуют развернутый угол, поэтому угол при основании равен:$$\angle ACB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 5$, медиана $BM = 4$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому $\triangle ABM$ — прямоугольный.$$AM \perp BM$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём длину основания прямоугольного треугольника $ABM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 55$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Поэтому $AB = AD = 55$.$$AB = BC = CD = DA = 55$$
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны, значит из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагоналям

В параллелограмме $ABCD$ диагонали делят его углы пополам и равны $10$ и $24$. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей равны $5$ и $12$.$$\frac{10}{2}=5,\quad \frac{24}{2}=12$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 14$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам: $\dfrac{AC}{2} = 7$.
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту треугольника:$$h = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 4$, $AC = \sqrt{15}$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора найдём катет $BC$.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{15})^2} = \sqrt{16 - 15} = 1$$
2. 2
   Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $54^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По свойству вписанного угла дуга, на которую опирается угол $ABC$, равна удвоенному углу:$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot54^\circ=108^\circ$$
2. 2
   Найдём дугу $CD$, на которую опирается угол $CAD$:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot41^\circ=82^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника равен 40, одна из средних линий равна 4,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому соответствующий катет равен:$$b = 2 \cdot 4{,}5 = 9$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41$$

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна 24, $\tg \angle CAD = \frac{3}{4}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 24$.$$AD = 24$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{3}{4}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между радиусами окружности

В угол с вершиной $C$, равный $128^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.$$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $ACOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB=360^\circ-128^\circ-90^\circ-90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между биссектрисой и лучом

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 102^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $CMA$ и $CMB$ — смежные, так как лучи $MA$ и $MB$ противоположны.$$\angle CMB = 180^\circ - \angle CMA$$
2. 2
   Найдём величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 24$, $AC = BD = 25$. Найдите площадь параллелограмма.

1. 1
   Диагонали параллелограмма равны, поэтому данный параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
2. 2
   Обозначим вторую сторону прямоугольника через $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 10 и 15. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 12. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.

1. 1
   Площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту равна:$$S = 10 \cdot 12 = 120$$
2. 2
   Та же площадь через большую сторону и искомую высоту:$$S = 15h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $62^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поскольку $A$ и $B$ — точки касания.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 62^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 21. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана, $AM=MC$. Поскольку $BM$ — биссектриса, по теореме о биссектрисе $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MC}=1$, поэтому $AB=BC$.
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой. Угол $ABM$ равен половине угла $B$: $\angle ABM=60^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении