Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $2$, а $\tg A = 0{,}2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg A = \dfrac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём половину основания:$$AM = \dfrac{BM}{\tg A} = \dfrac{2}{0{,}2} = 10$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла диагонали

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $700$, сторона $BC = 50$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $BC = AD = 50$, найдём вторую сторону:$$CD = AB = \dfrac{700}{50} = 14$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{14}{50} = 0{,}28$$

Ширина экрана телевизора

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 58 см, а высота экрана — 40 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ прямоугольника и его высота образуют прямоугольный треугольник, поэтому по теореме Пифагора ширина $w$ удовлетворяет равенству:$$w^2 + 40^2 = 58^2$$
2. 2
   Находим квадрат ширины:$$w^2 = 58^2 - 40^2 = 3364 - 1600 = 1764$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 33 и 75, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $75-33=42$. В равнобедренной трапеции она делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна:$$x=\dfrac{75-33}{2}=21$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора:$$h=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{5625-441}=72$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $48$, $\tg \angle CAD = \frac{5}{16}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{5}{16}$$
2. 2
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 48$. Найдём сторону $CD$.$$CD = 48 \cdot \frac{5}{16} = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 77$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$:$$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{77}{2} = 38{,}5$$
2. 2
   По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $BHM$ и $BHC$:$$BM^2 = BH^2 + MH^2, \quad BC^2 = BH^2 + HC^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол треугольника по биссектрисе

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $48^\circ$, угол $ABC$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $ALC$ и $ALB$ являются смежными, поскольку точки $B$, $L$, $C$ лежат на одной прямой.$$\angle ALB=180^\circ-48^\circ=132^\circ$$
2. 2
   В треугольнике $ABL$ известны углы при вершинах $B$ и $L$, поэтому найдём угол $BAL$.$$\angle BAL=180^\circ-41^\circ-132^\circ=7^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $128$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, значит, это соседние углы: $60^\circ$ и $120^\circ$.$$\alpha + (180^\circ-\alpha)=180^\circ,\quad 2\alpha=120^\circ$$
2. 2
   Найдём сторону ромба по его периметру.$$a=\frac{128}{4}=32$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 20$. Найдите длину катета $BC$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенузой.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 4 и 8. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 6. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 4 \cdot 6 = 24$$
2. 2
   Выразим высоту, опущенную на большую сторону.$$h = \dfrac{S}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$$

Длина отрезка BH

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 5$, $\sin A = 0{,}2$. Найдите длину отрезка $BH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы $AB$.$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{5}{0{,}2} = 25$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 61$, $AC = 120$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм является ромбом. Его диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   Половина диагонали $AC$ равна $\dfrac{120}{2}=60$. Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $AB=61$ и катетами $\dfrac{AC}{2}=60$ и $\dfrac{BD}{2}$.$$61^2=60^2+\left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $21$, $\tg \angle CAD = 0{,}7$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 21$.$$CD = AB = 21$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $CAD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = 0{,}7$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол по диаметрам окружности

В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $160^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ являются противоположными.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD$$
2. 2
   Находим центральный угол, опирающийся на дугу $AB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания. Получившиеся у большего основания отрезки равны половине разности оснований:$$x=\dfrac{92-62}{2}=15$$
2. 2
   Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой 39 и катетом 15:$$h=\sqrt{39^2-15^2}=\sqrt{1521-225}=36$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ ромба по углам

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 9$. Найдите $BD$.

1. 1
   В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому из условия $A + C = 120^\circ$ получаем:$$A = C = 60^\circ$$
2. 2
   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Диагональ $BD$ выражается через сторону и угол:$$BD = 2AB\sin\frac{A}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 8, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Находим сторону ромба:$$a = \frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{1/2} = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Биссектриса в параллелограмме

В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 5$, а периметр параллелограмма равен 22.

1. 1
   Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Так как $AD \parallel BC$, угол между $AK$ и $AD$ равен углу $AKB$.
2. 2
   Поскольку $AK$ — биссектриса угла $A$, получаем равенство углов $BAK$ и $AKB$. Следовательно, треугольник $ABK$ равнобедренный, и $BK = AB = 5$.$$BK = AB = 5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 50 см, а ширина экрана 40 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ, ширина и высота прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$50^2 = 40^2 + h^2$$
2. 2
   Найдём квадрат высоты:$$h^2 = 50^2 - 40^2 = 2500 - 1600 = 900$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $7$, а $\tg A = 0{,}1$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём длину половины основания.$$AM = \dfrac{BM}{\tg A} = \dfrac{7}{0{,}1} = 70$$

Ещё 2 шага — в полном решении