Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол в выпуклом четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 37^\circ$, $\angle D = 151^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, четырёхугольник является дельтоидом, а диагональ $BD$ — его ось симметрии. Поэтому она делит углы $B$ и $D$ пополам.$$∠ABD = \frac{37^\circ}{2} = 18{,}5^\circ,\quad ∠ADB = \frac{151^\circ}{2} = 75{,}5^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ABD$ и используем сумму его углов.$$∠A = 180^\circ - 18{,}5^\circ - 75{,}5^\circ = 86^\circ$$

Косинус угла равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 8$, медиана $BM = \sqrt{39}$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM \perp BM$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём длину половины основания:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{8^2 - (\sqrt{39})^2} = \sqrt{64 - 39} = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 2\sqrt{13}$, $\sin A = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса:$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC=AB\cdot\sin A=2\sqrt{13}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{13}}=4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $39^\circ$, угол $CAD$ равен $55^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $CAD$ и $CBD$ являются вписанными и опираются на одну и ту же хорду $CD$, поэтому они равны.$$\angle CBD = \angle CAD = 55^\circ$$
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ABC$ на углы $ABD$ и $DBC$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол на прямой

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 47^\circ$. Найдите величину угла $CMA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому он делит этот угол на два равных угла.$$\angle DMB = \angle DMC = 47^\circ$$
2. 2
   Углы $CMA$, $CMD$ и $DMB$ составляют развёрнутый угол, так как точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой.$$\angle CMA + \angle CMD + \angle DMB = 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна 27, $\tg \angle CAD = \frac{4}{9}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Так как противоположный углу $CAD$ катет — $CD$, а прилежащий катет — $AD$, имеем:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD}$$
2. 2
   Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $AD = BC = 27$. Найдём вторую сторону:$$CD = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 12$, сторона $AB = 3\sqrt{5}$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.$$AO = \dfrac{AC}{2} = 6$$
2. 2
   Найдём второй катет $BO$ по теореме Пифагора.$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 15 и 25, боковая сторона, равная 14, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 14\sin150^\circ = 14\cdot\frac{1}{2}=7$$
2. 2
   Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.$$S=\frac{15+25}{2}\cdot 7=20\cdot 7=140$$

Тангенс угла трапеции

В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 5, а другое — 9. Высота трапеции равна 6. Найдите тангенс острого угла трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется между двумя боковыми сторонами. Горизонтальная проекция боковой стороны равна$$x=\dfrac{9-5}{2}=2$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и этой проекцией. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tan\alpha=\dfrac{6}{2}=3$$

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 154^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Пусть $|\vec u|=|AB|=a$, где $\vec u=\vec{AB}$ и $\vec v=\vec{AD}$. Тогда $\vec{AC}=\vec u+\vec v$, причём $|\vec u+\vec v|=2a$. Угол между $\vec u$ и $\vec u+\vec v$ равен $154^\circ$.$$\vec u\cdot(\vec u+\vec v)=2a^2\cos154^\circ=-2a^2\cos26^\circ$$
2. 2
   Отсюда найдём скалярное произведение сторон и длину второй стороны.$$\vec u\cdot\vec v=-a^2(1+2\cos26^\circ),\qquad |\vec v|^2=a^2(5+4\cos26^\circ)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Косинус угла треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 25$, медиана $BM = 24$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и перпендикулярна ему. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM = MC,\quad BM \perp AC$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём катет $AM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 52 и 88, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований трапеции равна $88-52=36$. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя боковыми сторонами, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $36:2=18$.$$x=\frac{88-52}{2}=18$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 30.$$h=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{900-324}=24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол по диаметру окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 64^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ADB$, опирающийся на диаметр, прямой.$$\angle ADB = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ADB$ и найдём угол $DAB$.$$\angle DAB = 180^\circ - 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 8$, медиана $BM = \sqrt{55}$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$
2. 2
   Найдём длину отрезка $AM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{8^2 - (\sqrt{55})^2} = \sqrt{9} = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

1. 1
   Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$
2. 2
   Приравняем площади треугольника, выраженные через катеты и через гипотенузу и высоту:$$\frac{6\cdot8}{2}=\frac{10h}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона треугольника по медиане

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120°$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 30. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана, $AM=MC$. Поскольку $BM$ — биссектриса, углы $ABM$ и $MBC$ равны. Следовательно, треугольники $ABM$ и $CBM$ равны, поэтому $AB=BC$.
2. 2
   Угол $B$ равен $120°$, значит угол $ABM=60°$. В равнобедренном треугольнике $ABM$ углы при $A$ и $M$ равны $60°$, поэтому треугольник $ABM$ равносторонний.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 33$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $BC$ лежит напротив угла $A$.$$BC = \frac{AB}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $54$, $\tg \angle CAD = \dfrac{7}{18}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{7}{18}$$
2. 2
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 54$. Найдём сторону $CD$.$$CD = 54 \cdot \dfrac{7}{18} = 21$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между лучами

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 148^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, смежные углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$$
2. 2
   Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому делит его на два равных угла.$$\angle DMB = \frac{32^\circ}{2} = 16^\circ$$

Сторона треугольника по углу

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC=\sqrt{7}$, $AC=3\sqrt{7}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.

1. 1
   Внутренний угол треугольника при вершине $C$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle C=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
2. 2
   По теореме косинусов найдём квадрат стороны $AB$.$$AB^2=(3\sqrt{7})^2+(\sqrt{7})^2-2\cdot3\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\cdot\cos60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении