Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что основания $AD = 3$ и $BC = 1$, а её площадь равна 12. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Найдём высоту трапеции по формуле её площади.$$12 = \dfrac{(3 + 1)h}{2}$$
2. 2
   Вычислим высоту трапеции:$$h = \dfrac{24}{4} = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка KP

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 60$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 16. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Поэтому$$AK=KC=\frac{AC}{2}=30$$
2. 2
   Введём координаты: $K=(0,0)$, $B=(0,16)$, $C=(30,0)$. Так как $P$ — середина $BC$, её координаты равны$$P\left(\frac{0+30}{2},\frac{16+0}{2}\right)=(15,8)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 79$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{79}{2} = 39{,}5$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольные треугольники $BHM$ и $BHC$. У них общий катет $BH$, а гипотенузы равны, поскольку $BM = BC$.$$BM^2 = BH^2 + HM^2,\quad BC^2 = BH^2 + HC^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 55$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 173^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как противоположные стороны параллелограмма равны, имеем $CD = AB$. По условию $AC = 2AB$, поэтому $AC = 2CD$.
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём известны стороны $AC$ и $CD$, а также угол $\angle ACD = 173^\circ$. По теореме косинусов находим третью сторону $AD$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $88$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   Найдём длину стороны ромба по периметру:$$a = \dfrac{88}{4} = 22$$
2. 2
   Сумма двух равных противоположных углов равна $120^\circ$, значит каждый из них равен $60^\circ$. Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. В треугольнике, образованном двумя сторонами ромба и этой диагональю, две стороны равны…

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наименьшая средняя линия

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 24. Гипотенуза равна 25. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=7$$
2. 2
   Наименьшая средняя линия соединяет середины двух сторон и параллельна наименьшей стороне треугольника. Она равна половине этой стороны.$$m=\dfrac{7}{2}=3.5$$

Синус угла ромба

В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 3$, $BD = 3\sqrt{3}$. Найдите синус угла $ABD$.

1. 1
   Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Тогда $AO \perp BD$ и $BO = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.$$BO = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ гипотенуза $AB = 3$. По теореме Пифагора:$$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{9 - \dfrac{27}{4}} = \dfrac{3}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина боковой стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 6$, $\tg \angle BAC = \dfrac{\sqrt{7}}{3}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Поскольку $AB = BC$, высота $BH$ к основанию $AC$ делит его пополам:$$AH = \dfrac{AC}{2} = 3$$
2. 2
   Из определения тангенса угла $A$ найдём высоту:$$BH = AH \cdot \tg \angle BAC = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{3} = \sqrt{7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 32. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Медиана $BM$ делит угол $B=120^\circ$ пополам, поэтому $\angle ABM=60^\circ$.
2. 2
   Поскольку медиана в треугольнике одновременно является биссектрисой, треугольник $ABC$ равнобедренный. Следовательно, медиана $BM$ перпендикулярна основанию $AC$, и треугольник $ABM$ прямоугольный.

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона треугольника по косинусу

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = \sqrt{21}$, $AC = 5\sqrt{21}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.

1. 1
   Внутренний угол треугольника при вершине $C$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   По теореме косинусов выразим квадрат стороны $AB$.$$AB^2 = (5\sqrt{21})^2 + (\sqrt{21})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{21} \cdot \sqrt{21} \cdot \cos 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла в прямоугольнике

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $200$, сторона $BC = 25$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Найдём длину стороны $AD$:$$AD = \dfrac{200}{25} = 8$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий катет — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ прямоугольника

Площадь прямоугольника равна 240, а одна из сторон равна 10. Найдите диагональ этого прямоугольника.

1. 1
   Найдём вторую сторону прямоугольника по его площади:$$b = \dfrac{240}{10} = 24$$
2. 2
   Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:$$d = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120°$. Катет $AC = 33$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $A$ являются смежными:$$A = 180° - 120° = 60°$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим катетом, а $AB$ — гипотенузой:$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 12 и 24. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 18. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 12 \cdot 18 = 216$$
2. 2
   Та же площадь равна произведению большей стороны на искомую высоту.$$24h = 216$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $19$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Следовательно, два угла, сумма которых равна $120^\circ$, являются противоположными, и каждый из них равен $60^\circ$.$$120^\circ : 2 = 60^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба соединяет вершины острых углов. При угле $60^\circ$ сторона ромба равна меньшей диагонали, поэтому $a = 19$.$$a = 19$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{41}$, $BC = 4$. Найдите $\operatorname{tg} A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ — гипотенуза. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{41 - 4^2} = \sqrt{25} = 5$$
2. 2
   Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5} = 0.8$$

Длина боковой стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 14$, $AC = 96$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{96}{2} = 48$$
2. 2
   Медиана $BM$ перпендикулярна $AC$, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Ширина экрана ноутбука

Диагональ прямоугольного экрана ноутбука равна 40 см, а высота экрана — 24 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   По теореме Пифагора ширина экрана $x$, высота 24 см и диагональ 40 см образуют прямоугольный треугольник.$$x^2 + 24^2 = 40^2$$
2. 2
   Выразим ширину экрана и вычислим её значение.$$x = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1600 - 576} = \sqrt{1024} = 32$$

Косинус угла равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 25$, медиана $BM = 7$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а $AM = MC$.$$AM^2 + BM^2 = AB^2$$
2. 2
   Найдём длину половины основания:$$AM = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении