Решение: Длина отрезка AH

ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия

ПовышеннаяФИПИ32A2F5Короткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом

Условие

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 79$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.

Решение по шагам

4 шага

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.

$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{79}{2} = 39{,}5$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $BHM$ и $BHC$. У них общий катет $BH$, а гипотенузы равны, поскольку $BM = BC$.

$$BM^2 = BH^2 + HM^2,\quad BC^2 = BH^2 + HC^2$$

Следовательно, $HM^2 = HC^2$. На рисунке точка $H$ расположена правее точки $M$, поэтому $HM = HC$.

$$AH - AM = AC - AH$$

Подставим известные значения и найдём $AH$.

$$AH - 39{,}5 = 79 - AH;\quad 2AH = 118{,}5;\quad AH = 59{,}25$$

Ответ

59.25

так ответ выглядит в бланке

Забывают, что медиана делит сторону пополам.

Приравнивают $HM$ и $HC$ без использования равенства гипотенуз $BM$ и $BC$.

Получают $AH = 39{,}5$, принимая медиану за высоту.

Закрепить приёмВ теме «Планиметрия» ещё 1 931 задача — с ответом и таким же разбором.