12
Решение: Медиана и высота треугольника
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИC5F4CAКороткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 78$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$, поэтому $AM = MC = 39$.
$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{78}{2} = 39$$2
Пусть $AH = x$. Тогда $MH = x - 39$, а $HC = 78 - x$. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $BHM$ и $BHC$ и с учётом условия $BM = BC$:
$$(x - 39)^2 + BH^2 = (78 - x)^2 + BH^2$$3
После сокращения $BH^2$ и раскрытия скобок получаем:
$$(x - 39)^2 = (78 - x)^2$$Так как длины положительны, равны соответствующие горизонтальные отрезки: $x - 39 = 78 - x$. Отсюда:
$$2x = 117,\quad x = 58.5$$Ответ
58.5
58.5
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что медиана делит сторону пополам.
Сравнивают отрезки $BM$ и $BC$ без применения теоремы Пифагора.
Приравнивают $AH$ и $HC$, не учитывая, что $M$ находится между $A$ и $H$.