Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол, опирающийся на диаметр

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 49^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому её градусная мера вдвое больше угла.$$\overset{\frown}{DA} = 2 \cdot 49^\circ = 98^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB} = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 22. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Медиана $BM$, являющаяся биссектрисой угла $B$, делит противоположную сторону и угол так, что треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB=BC$.
2. 2
   Так как медиана проведена к основанию равнобедренного треугольника, она является также высотой. В прямоугольном треугольнике $ABM$ угол $ABM$ равен половине угла $B$:$$\angle ABM=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 41$, $AC = 80$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то все его стороны равны. Следовательно, $ABCD$ — ромб.$$AB = 41$$
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина диагонали $AC$ равна $40$.$$AO = \frac{AC}{2} = 40$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол треугольника по биссектрисе

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $58^\circ$, угол $ABC$ равен $31^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим угол $ACB$ через $x$. Тогда угол $A$ треугольника $ABC$ равен:$$\angle A=180^\circ-31^\circ-x=149^\circ-x$$
2. 2
   Поскольку $AL$ — биссектриса, угол $CAL$ равен половине угла $A$:$$\angle CAL=\dfrac{149^\circ-x}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 11, $\tg \angle CAD = 0{,}44$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет, противолежащий углу $CAD$, равен $AB$, а прилежащий катет равен $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AB}{AD}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$.$$0{,}44 = \dfrac{11}{AD},\quad AD = \dfrac{11}{0{,}44} = 25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 65$, $AC = 104$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 52$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{65^2 - 52^2} = \sqrt{4225 - 2704} = \sqrt{1521} = 39$$

Косинус угла по диаметру

На окружности радиусом 15 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 12$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности равен удвоенному радиусу.$$AB = 2R = 2 \cdot 15 = 30$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота на гипотенузу

В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{400} = 20$$
2. 2
   Приравняем два выражения для площади треугольника:$$\dfrac{12 \cdot 16}{2} = \dfrac{20h}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол на прямой

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 63^\circ$. Найдите величину угла $CMA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, поэтому углы $DMC$ и $DMB$ равны.$$\angle CMB = 2\angle DMC$$
2. 2
   Найдём величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол треугольника по биссектрисе

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $138^\circ$, угол $ABC$ равен $131^\circ$. Найдите величину угла $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $ALB$ и $ALC$ являются смежными.$$\angle ALB = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ABL$. Так как $AL$ — биссектриса, то $\angle BAL = \frac{1}{2}\angle A$.$$\angle BAL + 131^\circ + 42^\circ = 180^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Точка пересечения в параллелограмме

В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите $BK$, если $BD = 9$.

1. 1
   Введём векторы: пусть $\overrightarrow{BA}=\mathbf a$, а $\overrightarrow{BC}=\mathbf c$. Тогда $\overrightarrow{BD}=\mathbf a+\mathbf c$.
2. 2
   Так как $M$ — середина $BC$, то $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\mathbf c$. Точка $K$ лежит на $BD$, поэтому $\overrightarrow{BK}=t(\mathbf a+\mathbf c)$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = 0{,}28$. Гипотенуза $AB = 25$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   По определению косинуса угла $B$ найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 25 \cdot 0{,}28 = 7$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём второй катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 5 и 13, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h=10\sin150^\circ=10\cdot\frac12=5$$
2. 2
   Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S=\frac{5+13}{2}\cdot5=9\cdot5=45$$

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{7}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Найдём градусную меру дуги, составляющей $\dfrac{7}{36}$ длины окружности.$$\alpha=360^\circ\cdot\frac{7}{36}=70^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.$$\beta=\frac{\alpha}{2}=\frac{70^\circ}{2}=35^\circ$$

Косинус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 5$, $AC = 2\sqrt{6}$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$$
2. 2
   Следовательно, $BC = 1$. Для угла $B$ катет $BC$ является прилежащим катетом.$$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{5}$$

Площадь параллелограмма по диагоналям

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 8$, $AC = BD = 17$. Найдите площадь параллелограмма.

1. 1
   Так как диагонали параллелограмма равны, данный параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD\text{ — прямоугольник}$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём вторую сторону прямоугольника.$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $162^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$B = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$$
2. 2
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании $A$ и $B$ равны.$$A = B = 18^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $15$, $\tg \angle CAD = 0{,}5$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 15$.$$CD = AB = 15$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = 0{,}5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 104, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований трапеции равна 48. В равнобедренной трапеции на каждую боковую сторону приходится половина этой разности:$$x=\dfrac{104-56}{2}=24$$
2. 2
   Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой 30:$$h=\sqrt{30^2-24^2}=\sqrt{900-576}=18$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 54^\circ$, $\angle 2 = 100^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, острый угол между второй секущей и горизонтальным направлением равен$$180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$$
2. 2
   Угол между первой секущей и параллельными прямыми равен $\angle 1 = 54^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении