Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Сторона треугольника по синусам

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 8$, $\sin A = \dfrac{1}{4}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому внутренний угол равен:$$C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   По теореме синусов сторона $AB$, лежащая напротив угла $C$, связана со стороной $BC$, лежащей напротив угла $A$:$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $25$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании и внешний угол составляют развернутый угол:$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $143^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$∠B = 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ$$
2. 2
   Поскольку $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $∠A = ∠B = 37^\circ$.$$∠A = ∠B$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике одна из сторон равна 16, а диагональ равна 34. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. 1
   Диагональ и стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону.$$b = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{1156 - 256} = \sqrt{900} = 30$$
2. 2
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.$$S = 16 \cdot 30 = 480$$

Тангенс угла трапеции

В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 4, а другое — 8. Высота трапеции равна 5. Найдите тангенс острого угла трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется между двумя боковыми сторонами. Найдём горизонтальную проекцию боковой стороны:$$x = \frac{8 - 4}{2} = 2$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике, образованном высотой и боковой стороной трапеции, тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tan \alpha = \frac{5}{2} = 2{,}5$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 16$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Катет $AC$ прилежит к углу $A$, а $AB$ — гипотенуза, поэтому применяем определение косинуса.$$\cos 60^\circ = \frac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона треугольника по углам

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 12$, $\sin A = \frac{2}{3}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.

1. 1
   Внутренний угол $C$ и внешний угол при вершине $C$ являются смежными.$$C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   По теореме синусов сторона $AB$ относится к синусу угла $C$ так же, как сторона $BC$ — к синусу угла $A$.$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 13$, $AC = 10$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому высота, проведённая к основанию $AC$, делит его пополам: $AH = HC = 5$.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 5$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту $BH$:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 50$, $AC = 48$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{50^2 - 48^2} = \sqrt{196} = 14$$
2. 2
   Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{14}{50} = 0{,}28$$

Биссектриса в параллелограмме

В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 4$, а периметр параллелограмма равен 20.

1. 1
   Из формулы периметра параллелограмма найдём длину стороны $BC$:$$2(AB+BC)=20$$
2. 2
   Подставим $AB=4$:$$2(4+BC)=20,\quad BC=6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $48$, $\tg \angle CAD = \dfrac{5}{6}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{5}{6}$$
2. 2
   Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $AD = BC = 48$. Найдём сторону $CD$.$$CD = 48 \cdot \dfrac{5}{6} = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 80$, сторона $AB = 41$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Так как $ABCD$ — ромб, его стороны равны: $AB = BC = 41$. Поэтому треугольник $ABC$ равнобедренный.$$AB = BC = 41$$
2. 2
   Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит диагональ пополам.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 40$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 80$, $AC = 96$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 48$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{80^2 - 48^2} = \sqrt{4096} = 64$$

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 33 и 75, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $75-33=42$. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя боковыми прямоугольными треугольниками, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $42:2=21$.$$x=\frac{75-33}{2}=21$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора.$$h=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{5184}=72$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{101}$, $BC = 1$. Найдите $\tg A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{101 - 1} = 10$$
2. 2
   Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg A = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$$

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 28^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 7. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшая дуга, соответствующая углу $28^\circ$, составляет долю $\dfrac{28}{360}$ всей окружности.$$\frac{7}{L} = \frac{28}{360}$$
2. 2
   Найдём длину окружности.$$L = 7 \cdot \frac{360}{28} = 90$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 57^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 57. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшей дуге соответствует центральный угол $57^\circ$, поэтому длина дуги пропорциональна величине центрального угла.$$l_{\text{большей}} = 57 \cdot \frac{360^\circ - 57^\circ}{57^\circ}$$
2. 2
   Вычислим длину большей дуги.$$l_{\text{большей}} = 57 \cdot \frac{303}{57} = 303$$

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 14, $\tg \angle CAD = 0{,}4$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 14$.$$CD = AB = 14$$
2. 2
   Для прямоугольного треугольника $ACD$ используем определение тангенса угла $CAD$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 20$, сторона $AB = \sqrt{149}$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, поэтому он равнобедренный. Высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам.$$AH = HC = \frac{AC}{2} = 10$$
2. 2
   Найдём высоту $BH$ из прямоугольного треугольника $ABH$.$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{149 - 100} = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшая средняя линия

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.

1. 1
   Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.$$c=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=25$$
2. 2
   Наибольшая средняя линия соединяет середины катетов и параллельна гипотенузе, поэтому равна половине гипотенузы.$$l=\frac{c}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5$$