Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 13$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развёрнутый угол:$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет $BC$ противолежит углу $A$, а $AB$ является гипотенузой:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $30$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   Противоположные углы ромба равны, поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, имеют величину $120^\circ$ каждый. Другие два угла равны $60^\circ$.$$240^\circ : 2 = 120^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она делит ромб на два равносторонних треугольника, поэтому сторона ромба равна меньшей диагонали.$$a = 30$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус острого угла

Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

1. 1
   По основному тригонометрическому тождеству:$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
2. 2
   Подставим значение косинуса:$$\sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $23$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   Сумма двух равных противоположных углов ромба равна $120^\circ$, значит каждый из них равен $60^\circ$.$$2\alpha = 120^\circ,\quad \alpha = 60^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба при угле $60^\circ$ равна его стороне. Следовательно, сторона ромба равна $23$.$$a = 23$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в треугольнике

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $160^\circ$, угол $ABC$ равен $148^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим угол $ACB$ через $x$. Тогда угол $A$ треугольника $ABC$ равен $180^\circ-148^\circ-x=32^\circ-x$.$$∠A=32^\circ-x$$
2. 2
   Поскольку $AL$ — биссектриса, угол $CAL$ равен половине угла $A$.$$∠CAL=\dfrac{32^\circ-x}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 85$, $AC = 168$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{168}{2} = 84$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{85^2 - 84^2} = \sqrt{(85-84)(85+84)} = 13$$

Тангенс угла трапеции

В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 3, а другое — 7. Высота трапеции равна 4. Найдите тангенс острого угла трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции разность оснований делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками.$$\frac{7-3}{2}=2$$
2. 2
   В образовавшемся прямоугольном треугольнике высота равна $4$, а прилежащий к острому углу катет равен $2$.$$\tan \alpha=\frac{4}{2}=2$$

Косинус угла равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 12$, медиана $BM = 6\sqrt{3}$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM \perp BM$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём половину основания:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{12^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 - 108} = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 10$, медиана $BM = 2\sqrt{21}$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM \perp BM$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём катет $AM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - (2\sqrt{21})^2} = \sqrt{100 - 84} = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 51, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $51 - 9 = 42$. В равнобедренной трапеции при опускании высот эта разность делится пополам, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $21$.$$x = \dfrac{51 - 9}{2} = 21$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой $75$ и катетом $21$.$$h = \sqrt{75^2 - 21^2} = \sqrt{5625 - 441} = 72$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 28 и 100, боковая сторона равна 60. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $100-28=72$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется по краям, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $72:2=36$.$$x=\frac{100-28}{2}=36$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой 60 и катетом 36.$$h=\sqrt{60^2-36^2}=\sqrt{2304}=48$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120°$. Катет $AC = 20$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180° - 120° = 60°$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 120^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $20$. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшей дуге соответствует центральный угол $120^\circ$, поэтому большая дуга соответствует углу $240^\circ$.$$360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$$
2. 2
   Длина большей дуги относится к длине меньшей как соответствующие центральные углы:$$\dfrac{l_{\text{больш}}}{20} = \dfrac{240}{120}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 50$, $\sin A = \dfrac{24}{25}$. Найдите длину стороны $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $A$ противолежащий катет — $BC$.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину катета $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 50 \cdot \dfrac{24}{25} = 48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол при биссектрисе

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 52^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$$
2. 2
   Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, поэтому он делит этот угол пополам.$$\angle DMB = \dfrac{128^\circ}{2} = 64^\circ$$

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 6, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{6}{1/2} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла по окружности

На окружности радиуса 6 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности равен двум радиусам.$$AB = 2R = 2 \cdot 6 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 58$, $\sin A = \dfrac{20}{29}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому $BC = AB = 58$.$$BC = AB = 58$$
2. 2
   Найдём косинус угла $A$. Угол $A$ острый, поэтому берём положительное значение.$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{20}{29}\right)^2} = \dfrac{21}{29}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Пересечение диагонали и медианы

В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите $BK$, если $BD = 21$.

1. 1
   Пусть начало координат находится в точке $A$, а векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ равны соответственно $\mathbf b$ и $\mathbf d$. Тогда $B=\mathbf b$, $D=\mathbf d$, а так как $M$ — середина $BC$, то…$$M=\mathbf b+\dfrac12\mathbf d$$
2. 2
   Точка $K$ лежит на $AM$, поэтому её можно записать в виде $K=t\left(\mathbf b+\dfrac12\mathbf d\right)$. Также $K$ лежит на $BD$, поэтому $K=(1-s)\mathbf b+s\mathbf d$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 22, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{22}{1/2} = 44$$

Ещё 1 шаг — в полном решении