Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 44$. Найдите $BD$.

1. 1
   В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
2. 2
   Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам, а соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$:$$\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ, \quad \angle ABD = 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 109^\circ$, $\angle 2 = 57^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, острый угол между первой наклонной прямой и горизонтальным направлением равен углу, смежному с углом $1$.$$180^\circ - 109^\circ = 71^\circ$$
2. 2
   Вторая наклонная прямая образует с параллельными прямыми угол $57^\circ$, равный углу $2$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции выступы большего основания по краям равны.$$\dfrac{92 - 62}{2} = 15$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой 39 и катетом 15.$$h = \sqrt{39^2 - 15^2} = \sqrt{1521 - 225} = 36$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 24. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, поскольку $BK$ — высота. Для угла $ABK$ выразим косинус:$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 10 и 22, боковая сторона, равная 9, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции — это перпендикулярная составляющая боковой стороны.$$h = 9\sin150^\circ$$
2. 2
   Находим высоту трапеции:$$h = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 9 и 51, боковая сторона равна 75. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований поровну распределяется между двумя прямоугольными треугольниками.$$x=\dfrac{51-9}{2}=21$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора.$$h=\sqrt{75^2-21^2}=\sqrt{5184}=72$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 20$, $AC = 198$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{198}{2} = 99$$
2. 2
   Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора:$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 99^2 + 20^2 = 9801 + 400 = 10201$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $118^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $ACBO$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 118^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 22, $\tg \angle CAD = 0{,}55$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $CAD$ катет $CD$ равен стороне $AB$ прямоугольника.$$CD = AB = 22$$
2. 2
   По определению тангенса угла $CAD$ найдём сторону $AD$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{22}{AD} = 0{,}55$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона параллелограмма по диагонали

Обе диагонали параллелограмма равны 5. Одна из сторон параллелограмма равна 3. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.$$d = 5$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём вторую сторону прямоугольника:$$b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$$

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 15$, $AC = 9$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Сторона $AB$ — гипотенуза прямоугольного треугольника. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$$
2. 2
   Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{12}{15} = 0{,}8$$

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $9$, $\tg\angle CAD = 0{,}3$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$ прямоугольника.$$CD = AB = 9$$
2. 2
   По определению тангенса угла $CAD$:$$\tg\angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{9}{AD} = 0{,}3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $160$, сторона $AB = 4$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AD$:$$AD = \dfrac{160}{4} = 40$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ противолежащий углу $CAD$ катет $CD$ равен $AB = 4$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{4}{40} = 0{,}1$$

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $26$, а $\tg A = 1{,}3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём половину основания:$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{26}{1{,}3} = 20$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 16$, $\sin A = \dfrac{2}{5}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.

1. 1
   Внутренний угол треугольника при вершине $C$ является смежным с внешним углом:$$C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   По теореме синусов сторона $AB$ противоположна углу $C$, а сторона $BC$ — углу $A$:$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Биссектриса равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 72$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Так как углы при $A$ и $C$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC$. Биссектриса $BK$ из вершины равнобедренного треугольника является также высотой.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $9$, а $\tg A = 1{,}5$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg A=\dfrac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём длину половины основания:$$AM=\dfrac{BM}{\tg A}=\dfrac{9}{1{,}5}=6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 7 и 13, боковая сторона, равная 2, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Острый угол между боковой стороной и основанием равен $180^\circ-150^\circ=30^\circ$.$$30^\circ$$
2. 2
   Высота трапеции — это проекция боковой стороны на перпендикуляр к основанию.$$h=2\sin 30^\circ=1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 95$, $AC = 114$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{114}{2} = 57$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора найдём медиану $BM$.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{95^2 - 57^2} = \sqrt{5776} = 76$$

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{18}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\dfrac{1}{18}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{1}{18} = 20^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального угла:$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{20^\circ}{2} = 10^\circ$$