Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Биссектриса в треугольнике

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 48$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary к внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Так как углы $A$ и $C$ равны, то $AB = BC$, и треугольник $ABC$ равнобедренный. Биссектриса $BK$ является медианой и высотой.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна 180. Один из катетов равен 40. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Выразим второй катет из формулы площади прямоугольного треугольника.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 180}{40} = 9$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1681} = 41$$

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 39$, $\sin A = \dfrac{12}{13}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как угол $A$ острый, по основному тригонометрическому тождеству:$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$$
2. 2
   Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, равна:$$h = AB \cdot \sin A = 39 \cdot \frac{12}{13} = 36$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 20$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Биссектриса $BK$, проведённая к основанию, является также медианой и высотой.$$AK = KC = \dfrac{AC}{2}$$
2. 2
   Найдём основание треугольника по теореме косинусов.$$AC^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \cos 120^\circ = 1200$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол в окружности

В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $136^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BD$ — диаметр, дуга $BAD$ является полуокружностью и имеет величину $180^\circ$.$$\overset{\frown}{BAD}=180^\circ$$
2. 2
   Центральный угол $AOD$ равен величине дуги $AD$, поэтому дуга $AD$ равна $136^\circ$.$$\overset{\frown}{AD}=136^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{9}{16}$, $BC = 32$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ сторона $AC$ является противолежащим катетом, а $BC$ — прилежащим.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 32 \cdot \dfrac{9}{16} = 18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 82$, $\sin A = \dfrac{9}{41}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   По основному тригонометрическому тождеству найдём косинус угла $A$:$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2} = \frac{40}{41}$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит основание пополам. Поэтому:$$AC = 2AB\cos A = 2\cdot 82\cdot\frac{40}{41} = 160$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = 0{,}6$, $BC = 20$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами.
2. 2
   По определению тангенса угла $B$ найдём катет $AC$:$$\tg B = \dfrac{AC}{BC},\quad AC = 0{,}6 \cdot 20 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вписанный угол по длине дуги

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{11}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол, соответствующий дуге длиной $\dfrac{11}{36}$ длины окружности, составляет такую же долю полного угла:$$\alpha=360^\circ\cdot\frac{11}{36}=110^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, вдвое меньше центрального:$$\beta=\frac{\alpha}{2}=\frac{110^\circ}{2}=55^\circ$$

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 300, сторона $AB = 9$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AD$:$$AD = \frac{300}{9} = \frac{100}{3}$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет равен $CD = AB = 9$, а прилежащий катет равен $AD$.$$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{9}{100/3} = \frac{27}{100}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 50$, $AC = 28$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то все его стороны равны, то есть параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   Половина диагонали $AC$ равна $28 : 2 = 14$. По теореме Пифагора для половин диагоналей и стороны ромба:$$50^2 = 14^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя линия треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 96$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 14. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Поэтому $AK = KC = 96 : 2 = 48$.$$AK = KC = 48$$
2. 2
   Из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора найдём боковую сторону.$$AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{48^2 + 14^2} = \sqrt{2500} = 50$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $81^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $ACBO$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 81^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол треугольника по биссектрисе

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $150^\circ$, угол $ABC$ равен $127^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $ALC$ и $ALB$ смежные, поэтому$$\angle ALB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ABL$. По сумме его углов найдём угол $BAL$:$$\angle BAL = 180^\circ - 127^\circ - 30^\circ = 23^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 26$, $\sin A = \dfrac{5}{13}$. Найдите длину стороны $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ — гипотенуза. По определению синуса:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину катета $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 26 \cdot \frac{5}{13} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $134^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ являются смежными.$$B = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$$
2. 2
   Поскольку $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $A = B = 46^\circ$.$$A = B = 46^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 10$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен 24. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому он является средней линией треугольника и равен половине основания $AC$.$$AC = 2MN = 2 \cdot 24 = 48$$
2. 2
   Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам.$$AK = \frac{AC}{2} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние до точки на стороне

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$, у которого $AB = 12$ и $AD = 17$, отмечена точка $E$ так, что треугольник $ABE$ равнобедренный. Найдите $ED$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике $ABE$ равны боковые стороны, поэтому $BE = AB = 12$.
2. 2
   Так как $BC = AD = 17$, получаем $EC = BC - BE = 17 - 12 = 5$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла в прямоугольнике

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $32$, сторона $BC = 8$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $BC = AD = 8$, найдём вторую сторону:$$CD = AB = \dfrac{32}{8} = 4$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$$

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $7$, а $\tg A = 1{,}4$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $AM=MC$.$$AC=2AM$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению тангенса угла $A$:$$\tg A=\dfrac{BM}{AM}$$

Ещё 2 шага — в полном решении