Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Биссектриса равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 28$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополняют внешние углы до $180^\circ$:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Так как углы при основании равны, стороны, лежащие напротив них, равны: $AB = BC = 28$. Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный, а биссектриса $BK$ является медианой и высотой.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $5$, а $\tg A = 0{,}25$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BM$ к прилежащему катету $AM$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём половину основания треугольника:$$0{,}25 = \dfrac{5}{AM},\quad AM = \dfrac{5}{0{,}25} = 20$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона треугольника по синусу

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 18$, $\sin A = \frac{3}{5}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $C$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   По теореме синусов сторона $AB$ противоположна углу $C$, а сторона $BC$ — углу $A$.$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 28$, а $\tg A = \dfrac{3}{2}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота из вершины $B$ делит основание $AC$ пополам.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 14$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABH$ выразим высоту через тангенс угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{BH}{14} = \dfrac{3}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 10 и 55. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 33. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 10 \cdot 33 = 330$$
2. 2
   Выразим высоту, проведённую к большей стороне, через площадь.$$h = \dfrac{S}{55} = \dfrac{330}{55} = 6$$

Средняя линия треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 14$, боковая сторона $BC = 50$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2}$$
2. 2
   Вычислим длину половины основания:$$KC = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2500 - 196} = \sqrt{2304} = 48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$. Площадь треугольника равна 30. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Найдём катет $AC$ по площади:$$30 = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot 5$$
2. 2
   Вычисляем длину катета $AC$:$$AC = \dfrac{60}{5} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 80$, площадь ромба равна 320. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Найдём длину диагонали $BD$ по формуле площади ромба:$$S = \dfrac{AC \cdot BD}{2}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём вторую диагональ:$$320 = \dfrac{80 \cdot BD}{2},\quad BD = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 91$, $AC = 168$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{168}{2} = 84$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ применяем теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{91^2 - 84^2} = \sqrt{8281 - 7056} = \sqrt{1225} = 35$$

Вписанный угол по длине дуги

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{5}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\dfrac{1}{5}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha=360^\circ\cdot\frac{1}{5}=72^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального угла:$$\beta=\frac{\alpha}{2}=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150°$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $60$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании дополнительный к внешнему углу:$$\angle A = 180° - 150° = 30°$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, причём $BM=60$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $56^\circ$, угол $CAD$ равен $42^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABC$ опирается на дугу $ACD$, поэтому её величина вдвое больше угла $ABC$.$$\overset{\frown}{ACD}=2\cdot 56^\circ=112^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому найдём её величину.$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot 42^\circ=84^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол правильного восьмиугольника

$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $EFG$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   У правильного восьмиугольника все внутренние углы равны. Сумма внутренних углов выпуклого восьмиугольника равна:$$(8-2)\cdot 180^\circ=1080^\circ$$
2. 2
   Делим сумму на количество углов:$$\angle EFG=\dfrac{1080^\circ}{8}=135^\circ$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 40, площадь треугольника равна 420. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Проведём высоту из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам.$$AK = KC = \dfrac{AC}{2} = 20$$
2. 2
   Найдём высоту треугольника из формулы площади.$$S = \dfrac{1}{2}AC \cdot BK,\quad BK = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 420}{40} = 21$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 15$, $AC = 18$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 9$$
2. 2
   Медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой. В прямоугольном треугольнике $ABM$ применяем теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$$

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 140, сторона $AB = 7$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Найдём длину стороны $AD$ из формулы площади прямоугольника.$$AD = \dfrac{140}{7} = 20$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катеты равны $CD = AB = 7$ и $AD = 20$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{7}{20}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 160, сторона $AB = 8$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{160}{8} = 20$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ противолежащий катет к углу $CAD$ равен $CD = AB = 8$, а прилежащий катет равен $AD = 20$.$$\tan\angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{8}{20} = 0,4$$

Ширина экрана телевизора

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 100 см, а высота экрана 60 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ, высота и ширина экрана образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$d^2 = h^2 + w^2$$
2. 2
   Выразим ширину экрана и подставим значения:$$w = \sqrt{d^2 - h^2} = \sqrt{100^2 - 60^2} = \sqrt{10000 - 3600} = \sqrt{6400} = 80$$

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 68^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Положим $AB=CD=1$, тогда $AC=2$. Выберем координаты $A=(0,0)$ и $C=(2,0)$. Так как луч $CD$ образует с лучом $CA$ угол $68^\circ$, координаты точки $D$ имеют вид$$D=(2-\cos 68^\circ,\,-\sin 68^\circ)$$
2. 2
   В параллелограмме $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, поэтому координаты точки $B$ равны$$B=C-D=(\cos 68^\circ,\,\sin 68^\circ)$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Отношение площадей треугольников

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=10:11$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?

1. 1
   Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B$. Отношение их площадей равно произведению отношений двух сторон, заключающих этот угол.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}$$
2. 2
   Подставим данные из условия:$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{11}=\frac{5}{11}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении