Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и угол $\angle ACD = 68^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
5 шаговПоложим $AB=CD=1$, тогда $AC=2$. Выберем координаты $A=(0,0)$ и $C=(2,0)$. Так как луч $CD$ образует с лучом $CA$ угол $68^\circ$, координаты точки $D$ имеют вид
$$D=(2-\cos 68^\circ,\,-\sin 68^\circ)$$В параллелограмме $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, поэтому координаты точки $B$ равны
$$B=C-D=(\cos 68^\circ,\,\sin 68^\circ)$$Направляющий вектор диагонали $AC$ — $(1,0)$, а направляющий вектор диагонали $BD$ можно взять равным
$$\overrightarrow{BD}=D-B=(2-2\cos68^\circ,\,-2\sin68^\circ)$$Угол наклона диагонали $BD$ к горизонтали определяется отношением координат его направляющего вектора:
$$\tan\varphi=\frac{2\sin68^\circ}{2-2\cos68^\circ}=\frac{\sin68^\circ}{1-\cos68^\circ}=\cot34^\circ$$Следовательно, острый угол между диагоналями равен
$$\varphi=90^\circ-34^\circ=56^\circ$$Где здесь ошибаются
Путать угол между диагоналями с углом между диагональю и стороной.
Забывать, что в параллелограмме противоположные стороны равны: $AB=CD$.
Выбирать тупой угол вместо меньшего угла между пересекающимися диагоналями.