Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 18$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, поэтому $AM = MC = 9$.
2. 2
   Обозначим $AH = x$. Тогда $HC = 18-x$, а $MH = x-9$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 18$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна$$AC = 2R\sin\frac{60^\circ}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол выпуклого четырёхугольника

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 100^\circ$, $\angle D = 104^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из равенств $AB = BC$ и $AD = CD$ следует, что $ABCD$ — дельтоид. Его диагональ $BD$ является осью симметрии, поэтому противоположные углы при вершинах $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
2. 2
   Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Медиана и биссектриса угла

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 28. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, то $\angle ABM=\angle MBC=60^\circ$. По теореме о биссектрисе $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MC}=1$, следовательно, $AB=BC$.$$AB=BC$$
2. 2
   Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому медиана $BM$ к основанию $AC$ является также высотой. В прямоугольном треугольнике $ABM$:$$BM=AB\cos 60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника 210. Один из катетов 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По формуле площади прямоугольного треугольника найдём второй катет.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 210}{21} = 20$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{21^2+20^2} = \sqrt{841} = 29$$

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $6$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   Сумму $120^\circ$ имеют два смежных угла ромба: $60^\circ$ и $120^\circ$.
2. 2
   Для ромба со стороной $a$ и углом $60^\circ$ меньшая диагональ равна$$d=a\sqrt{2-2\cos 60^\circ}=a\sqrt{2-1}=a$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 38$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Обозначим $AH = x$. Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, поэтому $AM = MC = 19$.
2. 2
   По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках $BHC$ и $BHM$:$$BC^2 = BH^2 + (38-x)^2, \quad BM^2 = BH^2 + (19-x)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Синус угла в окружности

На окружности радиусом 10 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 18$. Найдите $\sin \angle ABC$.

1. 1
   Найдём диаметр окружности:$$AB = 2R = 2 \cdot 10 = 20$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $\angle ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол по диаметру окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 73^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому её градусная мера вдвое больше угла.$$\overset{\frown}{DA} = 2 \cdot 73^\circ = 146^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{DB} = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла ромба

В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 5$, $BD = 2\sqrt{21}$. Найдите синус угла $ABD$.

1. 1
   В ромбе все стороны равны, поэтому $AD = AB = 5$. Рассмотрим треугольник $ABD$.$$AB = AD = 5$$
2. 2
   По теореме косинусов найдём косинус угла $ABD$:$$\cos\angle ABD = \frac{AB^2 + BD^2 - AD^2}{2AB\cdot BD} = \frac{BD}{2AB} = \frac{2\sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21}}{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 13. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, а также является биссектрисой угла $B$. По теореме о биссектрисе $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AM}{MC}=1$, значит, $AB=BC$.
2. 2
   Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой. Кроме того, $\angle ABM=\dfrac{120^\circ}{2}=60^\circ$, следовательно, $\angle ABM=60^\circ$ и $\angle BAM=30^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 21$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $30$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Поэтому если сумма двух углов равна $120^\circ$, каждый из них равен $60^\circ$.$$\alpha=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она образует с двумя сторонами ромба равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ между равными сторонами. Два других угла также равны $60^\circ$, значит треугольник равносторонний.

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс острого угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{29}$, $BC = 2$. Найдите $\tg A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(\sqrt{29})^2 - 2^2} = \sqrt{25} = 5$$
2. 2
   Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.$$\tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{5} = 0{,}4$$

Площадь ромба по диагонали

Сторона ромба равна 25, одна из его диагоналей равна 48. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Половина данной диагонали равна:$$\frac{48}{2}=24$$
2. 2
   Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. Найдём половину второй диагонали по теореме Пифагора:$$x=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза по внешнему углу

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 15$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенузой. Поэтому применяем определение синуса.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника 120. Один из катетов 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Обозначим второй катет через $b$. По формуле площади прямоугольного треугольника:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot b$$
2. 2
   Найдём второй катет:$$b = \dfrac{2 \cdot 120}{24} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 8$, $BC = 6$, а её площадь равна 49. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Обозначим высоту трапеции через $h$. По формуле площади трапеции:$$49 = \frac{8 + 6}{2}h = 7h$$
2. 2
   Находим высоту трапеции:$$h = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $82^\circ$, угол $CAD$ равен $28^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По теореме о вписанном угле найдём дугу $AD$, на которую опирается угол $ABD$:$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot82^\circ=164^\circ$$
2. 2
   Аналогично найдём дугу $CD$, на которую опирается угол $CAD$:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot28^\circ=56^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона параллелограмма по диагоналям

Обе диагонали параллелограмма равны 29. Одна из сторон параллелограмма равна 20. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   Обозначим неизвестную сторону параллелограмма через $x$. По теореме о параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон.$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$29^2 + 29^2 = 2(20^2 + x^2)$$

Ещё 2 шага — в полном решении