12
Решение: Длина отрезка AH
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИ090131Короткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 18$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$, поэтому $AM = MC = 9$.
2
Обозначим $AH = x$. Тогда $HC = 18-x$, а $MH = x-9$.
3
По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $BHC$ и $BHM$, учитывая $BC = BM$, получаем:
$$BH^2 + (18-x)^2 = BH^2 + (x-9)^2$$Сокращаем $BH^2$ и решаем уравнение:
$$(18-x)^2 = (x-9)^2 \Rightarrow 18-x = x-9 \Rightarrow 2x=27 \Rightarrow x=13.5$$Ответ
13.5
13.5
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что медиана делит сторону $AC$ пополам.
Сравнивают длины $HC$ и $HM$ без применения теоремы Пифагора.
Получают $AH=9$ из неверного предположения, что высота проходит через середину основания.