Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 41$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Используем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 45$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Следовательно, $AB = AD = 45$.
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 44$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике отношение катета $BC$ к гипотенузе $AB$ равно синусу угла $A$.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{44}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 37$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол:$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Поэтому:$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{37}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 18^\circ$ и $\angle BDC = 97^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$, поэтому$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 18^\circ + 97^\circ = 115^\circ$$
2. 2
   Так как в трапеции $ABCD$ боковые стороны равны ($AB = CD$), она равнобедренная. Углы при основании $AD$ равны, значит $\angle BAD = \angle ADC = 115^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 27$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет $BC$ лежит напротив угла $A$, поэтому используем синус.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{27}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 11, $\tg \angle CAD = 0{,}1$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 11$.$$CD = 11$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $16$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   Противоположные углы ромба равны, поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, являются тупыми и каждый равен $120^\circ$.$$120^\circ=\frac{240^\circ}{2}$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам. В получившемся прямоугольном треугольнике половина меньшей диагонали равна $a\cos 60^\circ$.$$\frac{d}{2}=a\cos 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $15$, а $\tg A = 2{,}5$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Поэтому $AM = MC$.
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. По определению тангенса:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $123^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$$
2. 2
   Так как стороны $AC$ и $BC$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 57^\circ$.$$\angle A = \angle B$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 27$. Найдите $BD$.

1. 1
   Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
2. 2
   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом. Следовательно, $AB = AD = 27$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол по диаметру окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 39^\circ$. Найдите величину угла $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ADB$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.$$\angle ADB = 90^\circ$$
2. 2
   В треугольнике $ADB$ найдём угол $DAB$.$$\angle DAB = 180^\circ - 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 20 и 110. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 66. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Выразим площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту, опущенную на неё:$$S = 20 \cdot 66$$
2. 2
   Выразим ту же площадь через большую сторону и искомую высоту $h$:$$S = 110h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 7$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенуза. Используем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \dfrac{BC}{7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 3$, $BC = 1$, а её площадь равна 48. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Пусть $h$ — высота трапеции. По формуле площади трапеции:$$48 = \dfrac{3 + 1}{2} \cdot h$$
2. 2
   Находим высоту трапеции:$$h = \dfrac{48 \cdot 2}{4} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 65$, $AC = 50$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ делит основание $AC$ пополам и является высотой.$$AM = \dfrac{AC}{2} = 25$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{65^2 - 25^2} = \sqrt{4225 - 625} = \sqrt{3600} = 60$$

Длина диаметра окружности

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC=23$. Найдите длину диаметра окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому углы $AOC$ и $COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике $AOC$ радиусы $OA$ и $OC$ равны. Длина хорды выражается через радиус и центральный угол.$$AC=2R\sin\frac{\angle AOC}{2}=2R\sin30^\circ=R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Биссектриса в треугольнике

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 58$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополнительны к внешним:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Углы при основании равны, поэтому $AB = BC$, а биссектриса $BK$ является высотой. В прямоугольном треугольнике $ABK$:$$BK = AB \cdot \sin 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол треугольника по биссектрисе

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Угол $ALC$ равен $155^\circ$, угол $ABC$ равен $139^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как лучи $LB$ и $LC$ являются противоположными, углы $ALB$ и $ALC$ supplementary.$$\angle ALB=180^\circ-155^\circ=25^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ABL$. Его угол при вершине $B$ равен углу $ABC$.$$\angle BAL=180^\circ-139^\circ-25^\circ=16^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Биссектриса в треугольнике

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 26$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ являются смежными с внешними, поэтому каждый из них равен:$$\angle A=\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
2. 2
   Углы при вершинах $A$ и $C$ равны, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB=BC$. Тогда угол при вершине $B$ равен:$$\angle B=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении