Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь первой комнаты

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $3{,}5\ \text{м} \times 3{,}5\ \text{м}$, вторая комната — $3{,}5\ \text{м} \times 5{,}5\ \text{м}$…

1. 1
   По нижней части плана найдём общую ширину квартиры: она складывается из ширины санузла и длины коридора.$$L = 2 + 11 = 13\ \text{м}$$
2. 2
   Верхняя часть состоит из кухни, первой комнаты и второй комнаты. Найдём ширину первой комнаты.$$x = 13 - 3{,}5 - 5{,}5 = 4\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора участка

Участок земли для строительства дачи имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 40 м и 30 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль реки, а три остальные стороны нужно обнести забором…

1. 1
   Стороны прямоугольника равны 40 м и 30 м. Большая сторона имеет длину 40 м и проходит вдоль реки, поэтому её ограждать не нужно.
2. 2
   Длина забора равна сумме трёх остальных сторон прямоугольника.$$30 + 30 + 40 = 100$$

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 2 м, а наибольшая высота $h_2$ равна…

1. 1
   Перила имеют постоянный наклон, поэтому в середине расстояния между концами их высота равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l = \dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот.$$l = \dfrac{2+3}{2}=2{,}5$$

Площадь второй комнаты

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $4\ \text{м} \times 3\ \text{м}$, первая комната — $4\ \text{м} \times 5\ \text{м}$, санузел имеет…

1. 1
   По чертежу общая ширина квартиры складывается из ширины санузла и длины коридора:$$2 + 9{,}5 = 11{,}5\ \text{м}$$
2. 2
   Ширина второй комнаты равна общей ширине квартиры за вычетом ширины кухни и первой комнаты:$$11{,}5 - 3 - 5 = 3{,}5\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Ширина прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 70 см, а высота экрана 42 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ и стороны экрана образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$w^2 + 42^2 = 70^2$$
2. 2
   Найдём квадрат ширины:$$w^2 = 70^2 - 42^2 = 4900 - 1764 = 3136$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 50 м и 30 м. Дом, расположенный на участке, на плане также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 8 м и 10 м. Найдите…

1. 1
   Найдём площадь всего участка:$$S_{\text{участка}} = 50 \cdot 30 = 1500\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома:$$S_{\text{дома}} = 8 \cdot 10 = 80\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Вертикальный столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $3{,}2$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине горки, поэтому меньший треугольник подобен всему треугольнику с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$ по основаниям.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{3{,}2}{2} = 1{,}6$$

Ширина экрана телевизора

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 87 см, а высота экрана — 60 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ экрана является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота и ширина — его катетами.$$w^2 + 60^2 = 87^2$$
2. 2
   Выразим ширину экрана:$$w = \sqrt{87^2 - 60^2} = \sqrt{7569 - 3600} = \sqrt{3969} = 63$$

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 50 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает нижнюю часть конического сосуда. Получившийся конус подобен сосуду, а его линейный размер в 2 раза меньше.$$k = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса подобных шаров

Однородный шар диаметром 5 см весит 375 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как их объёмы. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$m_2=375\left(\dfrac{2}{5}\right)^3=375\cdot\dfrac{8}{125}=24$$

Высота музейной копии пирамиды

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 22 см. Найдите…

1. 1
   Переведём длину стороны основания оригинала в сантиметры: $220\ \text{м} = 22000\ \text{см}$.
2. 2
   Копия уменьшена по линейным размерам в $\dfrac{22000}{22}=1000$ раз.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 4 см весит 192 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 6 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам.$$m \sim V$$
2. 2
   Объём шара пропорционален кубу диаметра, поэтому масса второго шара равна:$$m_2=m_1\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3=192\left(\dfrac{6}{4}\right)^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 88, боковая сторона равна 53. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $88 - 32 = 56$. В равнобедренной трапеции на каждую боковую проекцию приходится половина этой разности: $56 : 2 = 28$.$$x = \frac{88 - 32}{2} = 28$$
2. 2
   Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и боковой проекцией.$$h = \sqrt{53^2 - 28^2} = \sqrt{2809 - 784} = \sqrt{2025} = 45$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Отношение площадей треугольников

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=5:6$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?

1. 1
   Треугольники $MBK$ и $ABC$ имеют общий угол $B$. Их площади можно сравнить как произведение отношений двух сторон, заключающих этот угол.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}$$
2. 2
   Подставим данные из условия.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{12}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по высоте

Основания трапеции равны 8 и 16, боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции равна перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 6\sin 150^\circ$$
2. 2
   Вычислим высоту:$$h = 6\cdot\frac{1}{2}=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $113^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла в точках касания.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $ACBO$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 113^\circ - 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $38$. Найдите боковую сторону.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота $BK$ к основанию является также биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. Сторона $BK$ прилежит к углу $ABK$, а $AB$ является гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $37$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом, поэтому он равен:$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а $\angle A = 30^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $54^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По теореме о вписанном угле дуга $AD$, на которую опирается угол $ABD$, равна:$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot38^\circ=76^\circ$$
2. 2
   Дуга $CD$, на которую опирается угол $CAD$, равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot54^\circ=108^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\dfrac{1}{36}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \frac{1}{36} = 10^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального угла:$$\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{10^\circ}{2} = 5^\circ$$