Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол между спицами

Колесо имеет 24 спицы. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла в градусах, который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Спицы делят полный угол вокруг центра колеса на 24 равных угла.$$360^\circ : 24$$
2. 2
   Вычисляем величину одного угла:$$\dfrac{360^\circ}{24}=15^\circ$$

Угол между стрелками часов

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 15:00?

1. 1
   В 15:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 3.
2. 2
   Угол между соседними делениями циферблата равен:$$\dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота пожарной лестницы

Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к стене дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Лестница, стена и расстояние от стены образуют прямоугольный треугольник. Лестница является гипотенузой.$$10^2 = 6^2 + h^2$$
2. 2
   Выразим высоту верхнего конца лестницы:$$h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

Плитки для облицовки стены

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,7 м и 3 м?

1. 1
   Переведём размеры стены в сантиметры: $2{,}7\ \text{м} = 270\ \text{см}$, $3\ \text{м} = 300\ \text{см}$.$$S_{\text{стены}} = 270 \cdot 300 = 81000\ \text{см}^2$$
2. 2
   Найдём площадь одной квадратной плитки.$$S_{\text{плитки}} = 15 \cdot 15 = 225\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь второй комнаты

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $3{,}5\ \text{м} \times 4\ \text{м}$, первая комната — $4\ \text{м} \times 4\ \text{м}$, санузел имеет…

1. 1
   По чертежу общая ширина квартиры складывается из ширины санузла и длины коридора:$$2 + 10 = 12\ \text{м}$$
2. 2
   Найдём ширину второй комнаты, вычитая ширины кухни и первой комнаты:$$12 - 3{,}5 - 4 = 4{,}5\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Забор вокруг участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 22 м и 30 м. Хозяин планирует обнести участок забором и разделить его таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата…

1. 1
   Найдём длину внешнего забора — периметр прямоугольника.$$P=2(22+30)=104$$
2. 2
   Одна часть участка имеет форму квадрата. Так как ширина участка равна 22 м, сторона квадрата и длина внутреннего забора равны 22 м.$$l=22$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,05 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Высота перил изменяется линейно, поэтому в середине их высота равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l=\dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения из условия:$$l=\dfrac{1{,}05+2{,}05}{2}=1{,}55$$

Высота фонаря по тени

Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 11 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

1. 1
   Большой треугольник, образованный фонарём и концом тени, подобен малому треугольнику, образованному человеком и его тенью.$$\dfrac{H}{11+9}=\dfrac{1{,}8}{9}$$
2. 2
   Подставим длины и найдём высоту фонаря.$$H=\dfrac{1{,}8\cdot20}{9}=4$$

Длина забора у моря

Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 1000 м и 600 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить…

1. 1
   Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, поэтому её ограждать не нужно.
2. 2
   Забор потребуется установить на другой большой стороне и на двух коротких сторонах.$$L = 1000 + 2 \cdot 600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота столба под горкой

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 2,5 м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине основания горки. Поэтому малый треугольник, образованный столбом, подобен всей фигуре с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}5}{2} = 1{,}25$$

Высота опорного столба

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,55 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Поскольку столб укреплён посередине перил, его высота равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l = \dfrac{h_1 + h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим известные значения высот:$$l = \dfrac{1{,}55 + 2{,}55}{2} = \dfrac{4{,}10}{2} = 2{,}05$$

Длина изгороди участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 30 метров и 20 метров. Хозяин планирует обнести его изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 12 метров (см…

1. 1
   Длина изгороди вокруг прямоугольного участка равна его периметру.$$P_{\text{прям}}=2(30+20)=100\ \text{м}$$
2. 2
   Две стороны квадратного участка совпадают со сторонами внешней изгороди, поэтому дополнительно нужно установить изгородь только по двум другим сторонам квадрата.$$P_{\text{доп}}=2\cdot12=24\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь окрашенной лестницы

Пять ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 15 см, высота — 20 см, а ширина — 75…

1. 1
   Для каждой ступени учитываем горизонтальную часть и вертикальную часть окрашенной поверхности.$$S_1 = 75 \cdot (15 + 20) = 2625\ \text{см}^2$$
2. 2
   Всего ступеней пять, поэтому общая площадь окрашенной поверхности равна:$$S = 5S_1 = 5 \cdot 2625 = 13125\ \text{см}^2$$

Движение плеча журавля

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

1. 1
   При повороте вокруг опоры углы поворота концов плеч одинаковы, поэтому пройденные расстояния пропорциональны длинам плеч.$$\dfrac{x}{1} = \dfrac{6}{4}$$
2. 2
   Находим перемещение конца длинного плеча:$$x = \dfrac{6 \cdot 1}{4} = 1{,}5$$

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму квадрата, сторона которого равна 40 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму прямоугольника, стороны которого равны 9 м и 8 м. Найдите площадь части участка…

1. 1
   Найдём площадь дачного участка, имеющего форму квадрата:$$S_1 = 40^2 = 1600\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома, имеющего форму прямоугольника:$$S_2 = 9 \cdot 8 = 72\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь первой комнаты

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $4\ м \times 3\ м$, вторая комната — $4\ м \times 5{,}5\ м$, санузел имеет размеры…

1. 1
   По чертежу длина коридора $11$ м складывается из ширины первой и второй комнат. Поэтому ширина первой комнаты равна:$$11 - 5{,}5 = 5{,}5\ \text{м}$$
2. 2
   Длина первой комнаты совпадает с длиной второй комнаты и равна $4$ м.$$S = 4 \cdot 5{,}5 = 22$$

Угол между стрелками часов

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 10:00?

1. 1
   В 10:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 10.
2. 2
   Один часовой промежуток на циферблате равен:$$360^\circ : 12 = 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь квартиры по плану

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Первая комната имеет размеры $3{,}5\ м \times 4{,}5\ м$, вторая — $3{,}5\ м \times 3\ м$, санузел имеет размеры…

1. 1
   По чертежу вся квартира вписывается в прямоугольник. Его общая ширина равна сумме отрезков $2$ м и $9$ м.$$a = 2 + 9 = 11\ \text{м}$$
2. 2
   Общая высота квартиры равна сумме высот верхней и нижней частей.$$b = 3{,}5 + 1{,}5 = 5\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 60 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка со сторонами 30 м и 60 м.$$P = 2(30+60)=180\text{ м}$$
2. 2
   Проезд шириной 3 м не ограждают, поэтому вычтем его ширину из периметра.$$180-3=177\text{ м}$$

Площадь прямоугольной комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 20 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4,1 м, а длина — 5 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Вычислим фактическую площадь комнаты как площадь прямоугольника.$$S = ab = 4{,}1 \cdot 5 = 20{,}5\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём, на сколько фактическая площадь отличается от площади на плане.$$20{,}5 - 20 = 0{,}5\ \text{м}^2$$