Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Высота прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 74 см, а ширина экрана — 70 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Ширина и высота экрана образуют катеты прямоугольного треугольника, а диагональ — гипотенузу.$$h^2 + 70^2 = 74^2$$
2. 2
   Вычислим квадрат высоты:$$h^2 = 74^2 - 70^2 = 5476 - 4900 = 576$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота столба у горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 3,7 м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине наклонной части горки, поэтому меньший треугольник подобен всей конструкции с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$.
2. 2
   Следовательно, высота столба вдвое меньше высоты горки:$$l = \frac{h}{2} = \frac{3{,}7}{2} = 1{,}85$$

Площадь прямоугольной комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 31 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 5 м, а длина 6,3 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от…

1. 1
   Найдём площадь комнаты по результатам точных измерений.$$S = 5 \cdot 6{,}3 = 31{,}5\ \text{м}^2$$
2. 2
   Вычислим, на сколько квадратных метров эта площадь отличается от указанной на плане.$$31{,}5 - 31 = 0{,}5\ \text{м}^2$$

Высота опоры горки

Вертикальный столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}2$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Профиль горки образует прямоугольный треугольник. Столб установлен посередине основания, поэтому меньший треугольник подобен большому с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим высоту горки.$$l = \dfrac{2{,}2}{2} = 1{,}1$$

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна $1{,}1$ м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Поскольку столб установлен посередине перил, его высота равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l=\dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот:$$l=\dfrac{1{,}1+1{,}9}{2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$$

Площадь первой комнаты

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. рисунок). Кухня имеет размеры $4\ \text{м} \times 3{,}5\ \text{м}$, вторая комната — $4\ \text{м} \times 3\ \text{м}$, санузел имеет…

1. 1
   Определим общую длину верхней части квартиры по размерам нижней части:$$1{,}5 + 9{,}5 = 11\ \text{м}$$
2. 2
   Вычтем из общей длины ширину кухни и второй комнаты и найдём ширину первой комнаты:$$11 - 3{,}5 - 3 = 4{,}5\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние до фонаря

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?

1. 1
   Большой треугольник образован фонарём и лучом света до конца тени, малый — человеком и его тенью. Эти треугольники подобны.$$\frac{9}{x+1}=\frac{1{,}8}{1}$$
2. 2
   Находим расстояние от фонаря до человека:$$x+1=\frac{9}{1{,}8}=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,75 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Высота перил изменяется линейно, поэтому в середине лестницы высота равна среднему арифметическому минимальной и максимальной высот.$$l = \dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот.$$l = \dfrac{1{,}75+2{,}75}{2} = \dfrac{4{,}5}{2} = 2{,}25$$

Число спиц колеса

На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между любыми двумя соседними спицами в нём будет равен $12^\circ$?

1. 1
   Вокруг центра колеса образуется полный угол.$$360^\circ$$
2. 2
   Число равных углов между соседними спицами найдём делением полного угла на величину одного угла.$$n = \dfrac{360^\circ}{12^\circ} = 30$$

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 м и 45 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму квадрата со стороной 7 м. Найдите площадь части участка, не занятой…

1. 1
   Найдём площадь дачного участка:$$S_1 = 35 \cdot 45 = 1575\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома, имеющего форму квадрата:$$S_2 = 7^2 = 49\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}3$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Высота горки изменяется линейно от 0 до $h$. В середине горки высота составляет половину полной высоты.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}3}{2} = 1{,}15$$

Высота экрана телевизора

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 70 см, а ширина экрана — 56 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$h^2 + 56^2 = 70^2$$
2. 2
   Выразим высоту и вычислим её значение.$$h = \sqrt{70^2 - 56^2} = \sqrt{4900 - 3136} = \sqrt{1764} = 42$$

Высота столба под горкой

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 2,2 м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине наклонной стороны горки. Малый треугольник под столбом подобен большому треугольнику горки, а его линейные размеры в 2 раза меньше.$$l = \frac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \frac{2{,}2}{2} = 1{,}1$$

Угол между стрелками часов

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 18:00?

1. 1
   В 18:00 минутная стрелка находится у отметки 12, а часовая — у отметки 6.
2. 2
   Стрелки направлены в противоположные стороны, поэтому образуют развернутый угол.$$6 \cdot 30^\circ = 180^\circ$$

Площадь прямоугольной комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 15,3 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3,1 м, а длина 5 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Вычислим площадь комнаты по точным измерениям:$$S = 3{,}1 \cdot 5 = 15{,}5$$
2. 2
   Найдём, на сколько квадратных метров эта площадь отличается от указанной на плане:$$15{,}5 - 15{,}3 = 0{,}2$$

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $3{,}1$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб расположен посередине основания горки. Малый и большой треугольники подобны, поэтому высота столба вдвое меньше высоты горки.$$l = \frac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение $h = 3{,}1$ м:$$l = \frac{3{,}1}{2} = 1{,}55$$

Высота прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 100 см, а ширина экрана 80 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Ширина, высота и диагональ прямоугольника образуют прямоугольный треугольник.$$h^2 + 80^2 = 100^2$$
2. 2
   Найдём квадрат высоты:$$h^2 = 100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольной комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 21,2 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4 м, а длина 5,4 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Найдём площадь комнаты по результатам точных измерений.$$S = 4 \cdot 5{,}4 = 21{,}6\ \text{м}^2$$
2. 2
   Вычислим, на сколько точная площадь отличается от площади, указанной на плане.$$21{,}6 - 21{,}2 = 0{,}4\ \text{м}^2$$

Длина забора участка

Участок земли для строительства дачи имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 60 м и 40 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль реки, а три остальные стороны нужно огородить забором…

1. 1
   Сторона длиной 60 м, расположенная вдоль реки, забором не ограждается.
2. 2
   Забор нужен для другой длинной стороны и двух коротких сторон.$$L = 60 + 2 \cdot 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 40 м и 20 м. Дом, расположенный на участке, также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 9 м и 8 м. Найдите площадь…

1. 1
   Найдём площадь дачного участка:$$S_1 = 40 \cdot 20 = 800\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома:$$S_2 = 9 \cdot 8 = 72\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении