Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол между стрелками часов

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 12:00?

1. 1
   В момент 12:00 минутная и часовая стрелки указывают на одну и ту же отметку циферблата.
2. 2
   Совпадающие лучи образуют угол, равный нулю.$$\alpha = 0^\circ$$

Длина изгороди участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 15 метров (см…

1. 1
   Найдём длину изгороди вокруг прямоугольного участка:$$P_{\text{прям}}=2(25+30)=110\ \text{м}$$
2. 2
   Участок квадратной формы расположен в углу, поэтому две его стороны совпадают с уже установленной внешней изгородью. Дополнительно нужно установить две внутренние стороны квадрата:$$P_{\text{внутр}}=2\cdot15=30\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота столба по проводу

От столба к дому натянут провод длиной 17 м, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли (см. рис.). Найдите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 15 м. Ответ дайте в…

1. 1
   Разность между высотой столба и высотой крепления провода на доме, расстояние между домом и столбом и длина провода образуют прямоугольный треугольник.$$h^2+15^2=17^2$$
2. 2
   Находим вертикальную разность высот:$$h=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опорного столба

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна $1$ м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Высота перил изменяется линейно, поэтому в середине лестницы она равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l = \dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим известные значения высот:$$l = \dfrac{1+2}{2}=1{,}5$$

Высота столба у горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $4{,}2$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине горки, поэтому соответствующие треугольники подобны, а высота столба вдвое меньше полной высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим $h = 4{,}2$ м:$$l = \dfrac{4{,}2}{2} = 2{,}1$$

Угол между стрелками часов

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 7:00?

1. 1
   В 7:00 минутная стрелка направлена на 12, а часовая — на 7.
2. 2
   Циферблат разделён на 12 равных частей, поэтому угол между соседними делениями равен:$$\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь второй комнаты

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $4\text{ м} \times 3\text{ м}$, первая комната — $4\text{ м} \times 5\text{ м}$, санузел имеет размеры…

1. 1
   По нижней части чертежа найдём общую ширину квартиры:$$2 + 10{,}5 = 12{,}5\text{ м}$$
2. 2
   Вычтем ширины кухни и первой комнаты, чтобы получить ширину второй комнаты:$$12{,}5 - 3 - 5 = 4{,}5\text{ м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота столба у горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $3{,}3$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен в середине горки, поэтому соответствующие треугольники подобны с коэффициентом $\dfrac{1}{2}$.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{3{,}3}{2} = 1{,}65$$

Рост человека по тени

Человек стоит на расстоянии 4,2 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 5 м. Тень человека равна 2,8 м. Какого роста человек (в метрах)?

1. 1
   Расстояние от столба до конца тени равно сумме расстояния от столба до человека и длины тени:$$4{,}2+2{,}8=7$$
2. 2
   Треугольники, образованные столбом и человеком, подобны. Поэтому составим пропорцию:$$\dfrac{x}{2{,}8}=\dfrac{5}{7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь второй комнаты

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $3{,}5\ \text{м} \times 3\ \text{м}$, первая комната — $3{,}5\ \text{м} \times 5\ \text{м}$, санузел…

1. 1
   Определим общую длину квартиры по нижней стороне чертежа:$$L = 2 + 9{,}5 = 11{,}5\ \text{м}$$
2. 2
   Ширина второй комнаты равна общей длине квартиры за вычетом ширины кухни и первой комнаты:$$l = 11{,}5 - 3 - 5 = 3{,}5\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 21 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4 м, а длина 5,3 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от…

1. 1
   Найдём фактическую площадь комнаты как площадь прямоугольника.$$S = ab = 4 \cdot 5{,}3 = 21{,}2\ \text{м}^2$$
2. 2
   Сравним фактическую площадь с площадью, указанной на плане.$$21{,}2 - 21 = 0{,}2\ \text{м}^2$$

Длина забора с проездом

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 40 м и 50 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(40 + 50) = 180$$
2. 2
   В заборе предусмотрен проезд шириной 3 м, поэтому длина забора равна:$$180 - 3 = 177$$

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 31 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 5,2 м, а длина 6 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от…

1. 1
   Вычислим фактическую площадь прямоугольной комнаты.$$S = 5{,}2 \cdot 6 = 31{,}2\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём, на сколько фактическая площадь отличается от площади на плане.$$31{,}2 - 31 = 0{,}2\ \text{м}^2$$

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,8 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Высота перил изменяется линейно, поэтому в середине лестницы высота равна среднему арифметическому крайних высот.$$l = \dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот:$$l = \dfrac{1{,}8+2{,}8}{2} = \dfrac{4{,}6}{2} = 2{,}3$$

Площадь кухни в квартире

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. рисунок). Первая комната имеет размеры $4\,\text{м} \times 4{,}5\,\text{м}$, вторая — $4\,\text{м} \times 4\,\text{м}$, санузел имеет…

1. 1
   Общая ширина квартиры складывается из ширины санузла и длины коридора:$$1{,}5 + 10{,}5 = 12\ \text{м}$$
2. 2
   Ширина двух комнат равна:$$4{,}5 + 4 = 8{,}5\ \text{м}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество кафельных плиток

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,8 м?

1. 1
   Найдём площадь стены:$$S_{\text{стены}} = 3{,}4 \cdot 4{,}8 = 16{,}32\ \text{м}^2$$
2. 2
   Переведём сторону плитки в метры и найдём её площадь:$$20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м},\quad S_{\text{плитки}} = 0{,}2^2 = 0{,}04\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора вокруг участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 35 м и 75 м. Найдите длину забора в метрах, которым нужно обнести участок, предусмотрев проезд шириной 4 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(35+75) = 220\text{ м}$$
2. 2
   В месте проезда забор не устанавливается, поэтому вычтем 4 м:$$220-4=216\text{ м}$$

Площадь коридора квартиры

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Первая комната имеет размеры $4\ \text{м} \times 4\ \text{м}$, вторая — $4\ \text{м} \times 3{,}5\ \text{м}$, кухня имеет…

1. 1
   Общая ширина квартиры складывается из ширины кухни, первой и второй комнат:$$3{,}5 + 4 + 3{,}5 = 11\ \text{м}$$
2. 2
   Общая высота квартиры складывается из высоты комнаты и ширины коридора:$$4 + 1{,}5 = 5{,}5\ \text{м}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Угол между стрелками часов

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 14:00?

1. 1
   В 14:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая стрелка — на 2.
2. 2
   Угол между соседними делениями циферблата равен:$$\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь стены и плитки

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 4,4 м?

1. 1
   Переведём сторону плитки из сантиметров в метры:$$20\text{ см} = 0{,}2\text{ м}$$
2. 2
   Найдём площадь стены:$$S_\text{стены} = 3 \cdot 4{,}4 = 13{,}2\text{ м}^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении