ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Разница площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 12,5 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м, а длина 4,3 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Вычислим площадь комнаты по точным измерениям.$$S = ab = 3 \cdot 4{,}3 = 12{,}9\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём, на сколько квадратных метров эта площадь отличается от площади на плане.$$12{,}9 - 12{,}5 = 0{,}4\ \text{м}^2$$

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 20,7 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4 м, а длина 5,2 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Найдём площадь комнаты по результатам точных измерений.$$S = 4 \cdot 5{,}2 = 20{,}8\ \text{м}^2$$
2. 2
   Вычислим, на сколько квадратных метров эта площадь отличается от указанной на плане.$$20{,}8 - 20{,}7 = 0{,}1\ \text{м}^2$$

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 40 м и 70 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно обнести участок, предусмотрев проезд шириной 4 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(40+70) = 220$$
2. 2
   Проезд шириной 4 м не требует установки забора, поэтому вычтем его ширину из периметра:$$220-4=216$$

Угол на прямой

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 51^\circ$. Найдите величину угла $CMA$.

1. 1
   Так как луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, угол $CMB$ вдвое больше угла $DMC$.$$\angle CMB = 2\angle DMC = 2 \cdot 51^\circ = 102^\circ$$
2. 2
   Точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой, поэтому углы $CMA$ и $CMB$ — смежные.$$\angle CMA + \angle CMB = 180^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 30 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 5,1 м, а длина 6 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от…

1. 1
   Найдём фактическую площадь комнаты как площадь прямоугольника.$$S = 5{,}1 \cdot 6 = 30{,}6\ \text{м}^2$$
2. 2
   Сравним фактическую площадь с площадью, указанной на плане.$$30{,}6 - 30 = 0{,}6\ \text{м}^2$$

Высота опоры горки

Вертикальный столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту этого столба, если высота горки равна 2,8 м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Так как столб подпирает горку посередине, его высота составляет половину высоты горки.$$h = \dfrac{H}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$h = \dfrac{2{,}8}{2} = 1{,}4$$

Длина транспортёра

Между зданиями завода и склада, находящимися друг от друга на расстоянии 12 м, для подачи материалов и готовых изделий установлен уличный автоматический транспортёр. Края креплений транспортёра…

1. 1
   Транспортёр и расстояние между зданиями образуют прямоугольный треугольник. Его горизонтальный катет равен 12 м, а вертикальный катет равен разности высот креплений:$$9 - 4 = 5$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём длину транспортёра:$$l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Число спиц колеса

На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между любыми соседними спицами в нём будет равен $30^\circ$?

1. 1
   Вокруг центра колеса образуется полный угол:$$360^\circ$$
2. 2
   Число равных углов между соседними спицами равно:$$360^\circ : 30^\circ = 12$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол между стрелками часов

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 8:00?

1. 1
   Между соседними делениями циферблата находится угол:$$360^\circ : 12 = 30^\circ$$
2. 2
   В 8:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 8. Большой угол между ними равен:$$8 \cdot 30^\circ = 240^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина забора участка

Участок земли для строительства дачи имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 60 м и 50 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль реки, а три остальные стороны нужно огородить забором…

1. 1
   Сторона длиной 60 м, расположенная вдоль реки, забором не ограждается.
2. 2
   Забор нужен для другой стороны длиной 60 м и двух сторон длиной 50 м.$$L = 60 + 50 + 50$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 12 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м, а длина — 4,1 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Найдём точную площадь прямоугольной комнаты как произведение ширины на длину.$$S = 3 \cdot 4{,}1 = 12{,}3\ \text{м}^2$$
2. 2
   Вычислим, на сколько точная площадь отличается от площади на плане.$$12{,}3 - 12 = 0{,}3\ \text{м}^2$$

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 9 и 33. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого, нижнего левого, прямоугольника равна $x$.
2. 2
   Для четырёх прямоугольников, полученных вертикальным и горизонтальным разрезами, произведения площадей противоположных прямоугольников равны.$$3 \cdot 33 = 9 \cdot x$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Рост адам по длине тени

Человек стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 9,5 м. Длина тени человека равна 3 м. Какого роста человек (в метрах)?

1. 1
   Большой треугольник образован столбом высотой 9,5 м и расстоянием от столба до конца тени, равным $12 + 3 = 15$ м. Малый треугольник образован человеком ростом $h$ и его тенью длиной 3 м. Эти треугольники подобны.$$\frac{h}{9{,}5} = \frac{3}{15}$$
2. 2
   Найдём рост адам:$$h = \frac{9{,}5 \cdot 3}{15} = 1{,}9$$

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 30 м и 20 м. Дом, расположенный на участке, имеет форму квадрата со стороной 6 м. Найдите площадь части участка, не занятой домом…

1. 1
   Найдём площадь дачного участка прямоугольной формы:$$S_1 = 30 \cdot 20 = 600\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома квадратной формы:$$S_2 = 6^2 = 36\ \text{м}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 2,9 м. Жауап дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине наклонной части горки, поэтому образуется треугольник, подобный всей конструкции с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}9}{2} = 1{,}45$$

Паркетные дощечки для пола

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и 6 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 40 см. Сколько потребуется таких дощечек?

1. 1
   Найдём площадь пола комнаты:$$S_{\text{пола}}=4\cdot6=24\text{ м}^2$$
2. 2
   Переведём размеры дощечки в метры и найдём её площадь:$$5\text{ см}=0{,}05\text{ м},\quad 40\text{ см}=0{,}4\text{ м},\quad S_{\text{дощечки}}=0{,}05\cdot0{,}4=0{,}02\text{ м}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 40 м и 55 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка.$$P = 2(40+55)=190\text{ м}$$
2. 2
   Так как предусмотрен проезд шириной 3 м, длина забора будет меньше периметра на 3 м.$$190-3=187\text{ м}$$

Угол между стрелками часов

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 13:00?

1. 1
   В 13:00 минутная стрелка находится у отметки 12, а часовая — у отметки 1.
2. 2
   Между соседними часовыми отметками один и тот же угол:$$\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,15 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Высота перил изменяется равномерно вдоль лестницы, поэтому в середине она равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l = \dfrac{h_1 + h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот.$$l = \dfrac{1{,}15 + 2{,}15}{2} = \dfrac{3{,}30}{2} = 1{,}65$$

Высота столба горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 2,4 м. Жауап дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине горки, поэтому его высота составляет половину высоты всей горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}4}{2} = 1{,}2$$