ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Высота уличного фонаря

Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 16 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

1. 1
   Большой треугольник образован фонарём, землёй и концом тени, а малый — человеком, его тенью и землёй. Эти треугольники подобны.$$\frac{H}{16+9}=\frac{1{,}8}{9}$$
2. 2
   Найдём высоту фонаря:$$H=\frac{1{,}8\cdot25}{9}=5$$

Угол между спицами

Колесо имеет 36 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Спицы делят полный угол вокруг центра колеса на 36 равных углов.$$36\alpha = 360^\circ$$
2. 2
   Найдём величину бір угла между соседними спицами.$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{36} = 10^\circ$$

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 75 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка.$$P = 2(30 + 75) = 210$$
2. 2
   В заборе предусмотрен проезд шириной 3 м, поэтому длина забора меньше периметра на 3 м.$$210 - 3 = 207$$

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,2 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Высота перил изменяется линейно, поэтому в середине их высота равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l = \dfrac{h_1 + h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения из условия:$$l = \dfrac{1{,}2 + 2{,}2}{2} = \dfrac{3{,}4}{2} = 1{,}7$$

Разбиение глобуса линиями

На поверхности глобуса фломастером проведены 16 параллелей и 20 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   Шестнадцать параллелей разделяют поверхность глобуса на 17 полос.$$16 + 1 = 17$$
2. 2
   Двадцать меридианов проходят от Северного до Южного полюса и делят каждую полосу на 20 частей.$$17 \cdot 20 = 340$$

Расстояние по масштабу карты

Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 12 км. Чему равно расстояние между городами, если на карте оно составляет 4 см?

1. 1
   Один сантиметр на карте соответствует 12 км на местности.$$1\ \text{см} \rightarrow 12\ \text{км}$$
2. 2
   На карте расстояние составляет 4 см, поэтому умножаем 12 км на 4.$$S = 4 \cdot 12 = 48\ \text{км}$$

Угол между спицами

Колесо имеет 15 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Все спицы равномерно делят полный угол вокруг центра колеса.$$360^\circ$$
2. 2
   Угол между соседними спицами равен:$$\frac{360^\circ}{15}=24^\circ$$

Движение концов журавля

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

1. 1
   При повороте журавля углы поворота обоих плеч одинаковы, поэтому перемещения их концов пропорциональны длинам плеч.$$\dfrac{h_\text{длинного}}{h_\text{короткого}}=\dfrac{4}{2}$$
2. 2
   Подставим известное перемещение короткого плеча:$$h_\text{длинного}=1{,}5\cdot\dfrac{4}{2}=3\ \text{м}$$

Угол между стрелками часов

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 11:00?

1. 1
   В 11:00 минутная стрелка указывает на 12, а часовая — на 11.
2. 2
   Между соседними делениями циферблата один и тот же угол:$$\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 3,5 м. Жауап дайте в метрах.

1. 1
   Столб подпирает горку посередине, поэтому его высота равна половине высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки.$$l = \dfrac{3{,}5}{2} = 1{,}75$$

Площадь участка после пруда

Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 24 м на 30 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 140 квадратных метров, причём граница участков проходит точно…

1. 1
   Площадь прямоугольного участка бір садовода:$$S_{\text{участка}} = 24 \cdot 30 = 720\ \text{м}^2$$
2. 2
   Поскольку граница участков проходит через центр пруда, площадь пруда делится поровну между участками:$$S_{\text{половины пруда}} = \frac{140}{2} = 70\ \text{м}^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Движение концов журавля

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

1. 1
   Перемещения концов жёсткого рычага пропорциональны длинам соответствующих плеч.$$\frac{x}{4} = \frac{1{,}5}{3}$$
2. 2
   Вычислим перемещение конца длинного плеча.$$x = \frac{4 \cdot 1{,}5}{3} = 2$$

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 35 м и 60 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 4 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(35 + 60) = 190$$
2. 2
   Из периметра вычтем ширину проезда, где забор не устанавливается:$$190 - 4 = 186$$

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,95 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Столб установлен посередине, поэтому высота перил в этой точке равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l = \dfrac{h_1 + h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот.$$l = \dfrac{1{,}95 + 2{,}95}{2} = \dfrac{4{,}90}{2} = 2{,}45$$

Угол при параллельных прямых

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите величину угла 3, если $\angle 1 = 42^\circ$, $\angle 2 = 73^\circ$. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Угол при левом основании треугольника равен углу 1 как внутренний накрест лежащий угол при параллельных прямых.$$\alpha = \angle 1 = 42^\circ$$
2. 2
   В треугольнике сумма углов равна $180^\circ$.$$\angle 3 + 42^\circ + 73^\circ = 180^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь кухни по плану

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Первая комната имеет размеры $3{,}5\ \text{м} \times 5\ \text{м}$, вторая — $3{,}5\ \text{м} \times 4{,}5\ \text{м}$, санузел…

1. 1
   По нижней стороне чертежа общая ширина квартиры равна сумме ширины санузла и длины коридора.$$1{,}5 + 11 = 12{,}5\ \text{м}$$
2. 2
   Ширина верхней части, занятой комнатами, равна сумме ширины двух комнат.$$5 + 4{,}5 = 9{,}5\ \text{м}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Длина забора участка

Участок земли для строительства дачи имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 50 м и 40 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль реки, а три остальные стороны нужно огородить забором…

1. 1
   Сторона длиной 50 м идёт вдоль реки, поэтому её ограждать не нужно. Забор устанавливают на другой стороне длиной 50 м и на двух сторонах длиной 40 м.
2. 2
   Находим длину забора:$$50 + 2 \cdot 40 = 130$$

Забор вокруг участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 24 метра и 36 метров. Хозяин планирует обнести участок забором и разделить его таким же забором на две части, одна из которых имеет форму…

1. 1
   Найдём длину внешнего забора, равную периметру прямоугольника.$$P=2(24+36)=120\text{ м}$$
2. 2
   Так как одна часть имеет форму квадрата, её сторона равна 24 м. Поэтому внутренний забор имеет длину 24 м.$$l=24\text{ м}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 50 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 4 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(30+50) = 160\ \text{м}$$
2. 2
   Так как проезд шириной 4 м не ограждается, вычтем эту длину из периметра:$$160-4 = 156\ \text{м}$$

Длина провода к дому

От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на стене дома на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Разность высот точки крепления провода на столбе и на доме равна:$$9 - 4 = 5\text{ м}$$
2. 2
   Получившийся прямоугольный треугольник имеет катеты 12 м и 5 м. По теореме Пифагора длина провода равна:$$l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\text{ м}$$