Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 9 и 15, боковая сторона, равная 4, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции — это перпендикулярная составляющая боковой стороны.$$h=4\sin 150^\circ=4\cdot\frac{1}{2}=2$$
2. 2
   Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.$$S=\frac{9+15}{2}\cdot 2=24$$

Угол между радиусами окружности

В угол с вершиной $C$, равный $83^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 83^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $75$, $\tg \angle CAD = \dfrac{3}{25}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю $AC$, выразим сторону $AD$ через тангенс угла.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AD}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$.$$AD = BC \cdot \tg \angle CAD = 75 \cdot \dfrac{3}{25} = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна $27$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, а также является биссектрисой угла $B$. Поэтому по обратной теореме о биссектрисе стороны, прилежащие к углу $B$, равны: $AB = BC$.$$AB = BC$$
2. 2
   Так как медиана является биссектрисой угла $B$, угол $ABM$ равен половине угла $B$.$$\angle ABM = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол правильного восьмиугольника

$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $ADF$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол правильного восьмиугольника равен:$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$$
2. 2
   Угол $ADF$ является вписанным и опирается на дугу $AHGF$, которая содержит три центральных угла.$$\angle ADF=\frac{3\cdot45^\circ}{2}=67{,}5^\circ$$

Пересечение диагонали и медианы

В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$, если $BD = 18$.

1. 1
   Введём векторы $\overrightarrow{AB}=\vec b$ и $\overrightarrow{AD}=\vec d$. Тогда $B=\vec b$, $D=\vec d$, а середина $M$ стороны $BC$ имеет координаты $M=\vec b+\frac12\vec d$.
2. 2
   Точка $K$ на отрезке $BD$ имеет вид $K=(1-t)\vec b+t\vec d$, а на отрезке $AM$ — вид $K=s\left(\vec b+\frac12\vec d\right)$.$$(1-t)\vec b+t\vec d=s\vec b+\frac{s}{2}\vec d$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Катет в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 8$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 17$, $\sin A = \dfrac{15}{17}$. Найдите длину стороны $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса угла $A$:$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 17 \cdot \dfrac{15}{17} = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона прямоугольника

Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 12. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   В параллелограмме равные диагонали означают, что он является прямоугольником.
2. 2
   Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$x^2+12^2=13^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 2\sqrt{5}$, $\sin A = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $42$, $\tg \angle CAD = \dfrac{9}{14}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
2. 2
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 42$. Найдём высоту $CD$:$$\dfrac{9}{14} = \dfrac{CD}{42},\quad CD = 42 \cdot \dfrac{9}{14} = 27$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 25$, $AC = 20$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{225} = 15$$
2. 2
   Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{15}{25} = 0.6$$

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 50, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Выразим сторону ромба через высоту и острый угол:$$h = a\sin 30^\circ$$
2. 2
   Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, найдём сторону ромба:$$a = \frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{50}{1/2} = 100$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120°$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 23. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Медиана $BM$, являющаяся также биссектрисой угла $B$, делит противоположную сторону пополам и угол пополам. Поэтому треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB=BC$.
2. 2
   Так как $\angle B=120°$, то $\angle ABM=60°$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 15$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 41$, $AC = 18$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
2. 2
   Половина диагонали $AC$ равна $AC/2 = 18/2 = 9$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $AB = 41$.$$41^2 = 9^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $7$, а $\tg A = \dfrac{7}{24}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM = 7$$
2. 2
   По определению тангенса угла $A$ найдём катет $AM$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM},\quad AM = \dfrac{7}{7/24} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 48$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам.$$AD = DC = \dfrac{AC}{2} = 24$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора найдём высоту $BD$.$$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{49} = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в выпуклом четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 94^\circ$, $\angle D = 120^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам: $AB = BC$, $AD = CD$, сторона $BD$ общая. Следовательно, соответствующие углы равны: $\angle A = \angle C$.$$\angle A = \angle C$$
2. 2
   Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 12, $\tg \angle CAD = 0{,}16$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 12$.$$CD = AB = 12$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD}$$

Ещё 2 шага — в полном решении