Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Длина стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 25. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Медиана, проведённая из вершины треугольника и одновременно являющаяся биссектрисой, делит противоположную сторону и угол так, что стороны, прилежащие к этому углу, равны: $AB = BC$.
2. 2
   Так как $BM$ делит угол $B$ пополам, то $\angle ABM = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике медиана $BM$ также является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $35$, $\tg \angle CAD = \dfrac{4}{7}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ выразим сторону $AD$ через известную сторону $BC$ и тангенс угла.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AD}{BC}$$
2. 2
   Подставим значения и найдём длину стороны $AD$.$$AD = 35 \cdot \dfrac{4}{7} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 31$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол и внешний угол при одной вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, поэтому выражаем его через гипотенузу и синус угла.$$BC = AB \cdot \sin A$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 54^\circ$ и $\angle BDC = 33^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = CD$, трапеция $ABCD$ является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle BAD = \angle ADC$$
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$:$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 54^\circ + 33^\circ = 87^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 5. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Если медиана треугольника одновременно является биссектрисой, то треугольник равнобедренный: $AB = BC$. Поэтому медиана $BM$ также является высотой.$$BM \perp AC$$
2. 2
   Медиана делит угол $B$ пополам, значит угол $ABM$ равен $60^\circ$.$$\angle ABM = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Косинус угла в окружности

На окружности радиуса 12 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Найдём длину диаметра окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 12 = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в правильном десятиугольнике

$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $BCE$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного десятиугольника, равен:$$\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
2. 2
   Дуга $BE$, не содержащая вершину $C$, проходит через вершины $A$, $J$, $I$, $H$, $G$, $F$ и состоит из 7 равных дуг.$$7\cdot36^\circ=252^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $155^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $B$ является смежным с внешним углом.$$\angle B = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$$
2. 2
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 25^\circ$.$$\angle A = \angle B = 25^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 35$, $AC = 42$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   Половина диагонали $AC$ равна:$$\dfrac{AC}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $55$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании и внешний угол образуют развернутый угол, поэтому угол при основании равен:$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а угол $A$ равен $30^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 14, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Выразим сторону ромба через высоту и острый угол:$$h=a\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём сторону:$$14=a\sin30^\circ=a\cdot\frac{1}{2},\quad a=28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла треугольника

На окружности радиусом 14 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 7$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Найдём длину диаметра окружности.$$AB = 2R = 2 \cdot 14 = 28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $48$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Поэтому сумма двух углов, равная $120^\circ$, относится к двум равным острым углам:$$2\alpha=120^\circ,\quad \alpha=60^\circ$$
2. 2
   Найдём длину стороны ромба по его периметру:$$a=\frac{48}{4}=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия треугольника

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 40. Гипотенуза равна 41. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{1681 - 1600} = \sqrt{81} = 9$$
2. 2
   Наименьшая средняя линия параллельна меньшему катету и равна его половине:$$m = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$$

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 5, а острый угол ромба равен $30^\circ$.

1. 1
   Выразим сторону ромба через высоту и острый угол.$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём сторону ромба.$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{5}{1/2} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 31$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными.$$∠A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенуза.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 300, сторона $AB = 15$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{300}{15} = 20$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD = AB = 15$, а прилежащий катет — $AD = 20$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 17$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Обозначим $AH = a$, $HC = c$. Тогда из условия $AC = 17$ получаем:$$a+c=17$$
2. 2
   Поскольку $M$ — середина $AC$, расстояние от $H$ до $M$ равно $\dfrac{|a-c|}{2}$. По теореме Пифагора:$$BM^2=BH^2+\left(\frac{a-c}{2}\right)^2,\qquad BC^2=BH^2+c^2$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $49$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании supplementary внешнему углу:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а $BM$ — катет, лежащий напротив угла $A = 30^\circ$.$$\sin 30^\circ = \dfrac{BM}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 49$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении