12
Решение: Длина отрезка AH
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИ104A36Короткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 5 шаговОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 17$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
5 шагов1
Обозначим $AH = a$, $HC = c$. Тогда из условия $AC = 17$ получаем:
$$a+c=17$$2
Поскольку $M$ — середина $AC$, расстояние от $H$ до $M$ равно $\dfrac{|a-c|}{2}$. По теореме Пифагора:
$$BM^2=BH^2+\left(\frac{a-c}{2}\right)^2,\qquad BC^2=BH^2+c^2$$3
Из условия $BM=BC$ следует:
$$\left(\frac{a-c}{2}\right)^2=c^2$$4
Так как на рисунке и в треугольнике $M$ находится левее $H$, получаем $a-c=-2c$, то есть $a=3c$.
Подставим это в равенство $a+c=17$:
$$3c+c=17,\qquad c=4.25,\qquad a=3\cdot4.25=12.75$$Ответ
12.75
12.75
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что $M$ — середина стороны $AC$.
Приравнивают длины $BM$ и $BC$ без возведения соответствующих выражений в квадрат.
Путают отрезки $AH$ и $HC$.