Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна 19. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом, поэтому он равен$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный, причём $\angle C=30^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол при вершине треугольника

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Угол $ALC$ равен $76^\circ$, угол $ABC$ равен $47^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим угол $ACB$ через $x$. Тогда угол $BAC$ в треугольнике $ABC$ равен:$$\angle BAC=180^\circ-47^\circ-x=133^\circ-x$$
2. 2
   Поскольку $AL$ — биссектриса, угол $CAL$ равен половине угла $BAC$:$$\angle CAL=\frac{133^\circ-x}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 22 и 44. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 33. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту к ней равна:$$S = 22 \cdot 33$$
2. 2
   Через большую сторону и искомую высоту площадь равна:$$S = 44h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника с медианой

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{7}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 2. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = \dfrac{1}{2}AC$$
2. 2
   Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол $A$. Их площади относятся как произведения двух сторон, прилежащих к этому углу.$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{AM \cdot AK}{AC \cdot AB}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь ромба по диагонали

Сторона ромба 25, одна из диагоналей равна 40. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Половина известной диагонали равна $40:2=20$. Вместе с половиной второй диагонали и стороной ромба она образует прямоугольный треугольник.$$25^2=20^2+\left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2$$
2. 2
   Находим половину второй диагонали:$$\dfrac{d_2}{2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол на прямой

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 78^\circ$. Найдите величину угла $CMA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому углы $DMC$ и $DMB$ равны.$$\angle CMB = 2\angle DMC$$
2. 2
   Вычислим величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 2 \cdot 78^\circ = 156^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 20$, боковая сторона $BC = 29$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2}$$
2. 2
   Найдём половину основания:$$KC = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма по диагоналям

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 12$, $AC = BD = 15$. Найдите площадь параллелограмма.

1. 1
   В параллелограмме равные диагонали, поэтому он является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD \text{ — прямоугольник}$$
2. 2
   Диагональ прямоугольника и его стороны образуют прямоугольный треугольник. Найдём вторую сторону:$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по медиане

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK=\dfrac{1}{3}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 5. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$: $AM=\dfrac{1}{2}AC$.$$AM=\dfrac{1}{2}AC$$
2. 2
   Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол при вершине $A$. Их площади относятся как произведения двух сторон, заключающих этот угол.$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM\cdot AK}{AC\cdot AB}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен 84. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   У ромба четыре равные стороны, поэтому длина стороны равна:$$a=\frac{84}{4}=21$$
2. 2
   Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, следовательно, это сумма двух равных острых углов, каждый из которых равен $60^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 9$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$∠A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$$BC = \frac{AB}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в треугольнике

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Угол $ALC$ равен $152^\circ$, угол $ABC$ равен $137^\circ$. Найдите величину угла $ACB$.

1. 1
   Обозначим искомый угол $\angle ACB$ через $x$. Поскольку точка $L$ лежит на стороне $BC$, угол $ACL$ равен $x$.$$\angle ACL=x$$
2. 2
   Найдём угол $A$ треугольника $ABC$ и половину этого угла, равную углу $CAL$.$$\angle A=180^\circ-137^\circ-x=43^\circ-x,\quad \angle CAL=\frac{43^\circ-x}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $\angle AOB = 8^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 80. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшая дуга соответствует центральному углу $8^\circ$, поэтому её длина составляет долю $\dfrac{8}{360}$ от длины всей окружности.$$\frac{80}{L} = \frac{8}{360}$$
2. 2
   Найдём длину всей окружности.$$L = 80 \cdot \frac{360}{8} = 3600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 82$, $AC = 36$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам:$$AM = MC = \frac{AC}{2} = 18$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{6724 - 324} = \sqrt{6400} = 80$$

Угол в окружности

В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $124^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ — смежные.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD$$
2. 2
   Вычислим центральный угол $AOB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 40, площадь треугольника равна 300. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Найдём высоту равнобедренного треугольника, проведённую к основанию:$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 300}{40} = 15$$
2. 2
   Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, поэтому половина основания равна 20. По теореме Пифагора:$$AB = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25$$

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $10$, а $\tg A = 1{,}25$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg A=\frac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём длину половины основания.$$AM=\frac{BM}{\tg A}=\frac{10}{1{,}25}=8$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 2 и 8, боковая сторона, равная 4, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Найдём высоту трапеции по боковой стороне и углу между боковой стороной и основанием.$$h = 4\sin 150^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$
2. 2
   Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S = \frac{2+8}{2}\cdot 2 = 10$$

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 26$. Найдите длину катета $BC$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными, поэтому внутренний угол равен:$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет $BC$ является противолежащим углу $A$, а $AB$ — гипотенуза:$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол треугольника по биссектрисе

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $145^\circ$, угол $ABC$ равен $113^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим $\angle CAL=\angle BAL=\alpha$, так как $AL$ — биссектриса угла $A$. Пусть $\angle ACB=x$.
2. 2
   В треугольнике $ALC$ угол $ACL$ совпадает с углом $ACB$, поэтому$$\alpha+x+145^\circ=180^\circ,\quad \alpha+x=35^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении