Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 2$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Расположим основание $AC$ на координатной оси: $A=(0,0)$, $C=(2,0)$. Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой $AC$, поэтому $M=(1,0)$.
2. 2
   Поскольку $BH$ — высота, точка $H$ имеет ту же абсциссу, что и точка $B$. Обозначим $H=(x,0)$ и $B=(x,y)$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $8$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Так как сумма двух углов равна $120^\circ$, это равные острые углы:$$2\alpha = 120^\circ,\quad \alpha = 60^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она образует с двумя сторонами ромба треугольник, в котором угол между сторонами равен $60^\circ$, поэтому треугольник равносторонний. Следовательно, сторона ромба равна меньшей диагонали:$$a = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол правильного десятиугольника

$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $ADI$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного десятиугольника, равен:$$\frac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
2. 2
   Дуга $AI$, не содержащая вершину $D$, проходит через вершину $J$ и состоит из двух таких дуг:$$\widehat{AI}=2\cdot36^\circ=72^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его периметр равен $36$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, являются противоположными и каждый равен $120^\circ$.$$2\alpha=240^\circ,\quad \alpha=120^\circ$$
2. 2
   Соседний угол ромба равен $60^\circ$.$$\beta=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен 20. Найдите меньшую диагональ ромба.

1. 1
   Найдём сторону ромба по периметру:$$a = \dfrac{20}{4} = 5$$
2. 2
   Сумма двух равных противоположных углов равна $120^\circ$, значит каждый из них равен $60^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $56$. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона треугольника по синусам

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 24$, $\sin A = \dfrac{4}{7}$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите $AB$.

1. 1
   Внутренний угол $C$ и внешний угол при вершине $C$ являются смежными.$$C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   По теореме синусов сторона $AB$ относится к синусу угла $C$, а сторона $BC$ — к синусу угла $A$.$$\dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{BC}{\sin A}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 34$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Найдём угол $A$ треугольника.$$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 15$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными, поэтому внутренний угол равен$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла:$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 5$, $\sin A = 0{,}6$. Найдите длину отрезка $BH$.

1. 1
   По определению синуса угла $A$ в прямоугольном треугольнике:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы $AB$:$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{5}{0{,}6} = \frac{25}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 22^\circ$, угол $2 = 72^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Рассмотрим треугольник, расположенный между прямыми $m$ и $n$. Так как $m \parallel n$, угол при его левом основании равен углу $1$ как соответственный.$$\alpha = 22^\circ$$
2. 2
   Угол при правом основании треугольника равен углу $2$ и составляет $72^\circ$.$$\beta = 72^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 4\sqrt{5}$, $\sin A = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, гипотенуза — это сторона $AB$. По определению синуса:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB\cdot\sin A = 4\sqrt{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}} = 2\sqrt{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна 10, а $\tg A = \dfrac{5}{12}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

1. 1
   Медиана к основанию равнобедренного треугольника является также высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM \perp AC$$
2. 2
   По определению тангенса угла $A$ найдём половину основания:$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{5}{12},\quad \dfrac{10}{AM} = \dfrac{5}{12},\quad AM = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона прямоугольника по диагонали

Обе диагонали параллелограмма равны 17. Одна из сторон параллелограмма равна 15. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   В параллелограмме равенство диагоналей означает, что он является прямоугольником.$$d = 17$$
2. 2
   Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону:$$b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$$

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $9$, $\tg \angle CAD = 0{,}12$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет, противолежащий углу $CAD$, равен $AB$, а прилежащий катет равен $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AB}{AD}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину стороны $AD$.$$0{,}12 = \dfrac{9}{AD},\quad AD = \dfrac{9}{0{,}12} = 75$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 50, боковая сторона равна 30. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Разность оснований делится пополам, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна:$$x=\frac{50-14}{2}=18$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту трапеции:$$h=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{900-324}=24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 18$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренний угол треугольника и внешний угол при одной вершине являются смежными.$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Так как углы при вершинах $A$ и $C$ равны, противолежащие им стороны равны. Следовательно, $AB = BC = 18$, а треугольник равнобедренный.$$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $85^\circ$, угол $CAD$ равен $19^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $ABD$ — вписанный, поэтому дуга $AD$, на которую он опирается, равна:$$\overset{\frown}{AD}=2\angle ABD=2\cdot85^\circ=170^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot19^\circ=38^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $19$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны, а сумма двух углов, лежащих рядом, равна $180^\circ$. Поэтому углы, сумма которых равна $120^\circ$, являются противоположными и каждый из них равен $60^\circ$.$$60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба, образующая с его сторонами углы по $30^\circ$, равна стороне ромба: в соответствующем равностороннем треугольнике она является высотой, а при угле ромба $60^\circ$ её длина совпадает со стороной.$$a = 19$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла в окружности

На окружности радиусом 25 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 15$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Найдём длину диаметра окружности:$$AB = 2R = 2 \cdot 25 = 50$$
2. 2
   Угол $ACB$ прямой, так как он опирается на диаметр $AB$. В прямоугольном треугольнике косинус угла $BAC$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$:$$\cos \angle BAC = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{50} = 0{,}3$$