Решение: Угол между диагоналями
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 154^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам
4 шагаПусть $|\vec u|=|AB|=a$, где $\vec u=\vec{AB}$ и $\vec v=\vec{AD}$. Тогда $\vec{AC}=\vec u+\vec v$, причём $|\vec u+\vec v|=2a$. Угол между $\vec u$ и $\vec u+\vec v$ равен $154^\circ$.
$$\vec u\cdot(\vec u+\vec v)=2a^2\cos154^\circ=-2a^2\cos26^\circ$$Отсюда найдём скалярное произведение сторон и длину второй стороны.
$$\vec u\cdot\vec v=-a^2(1+2\cos26^\circ),\qquad |\vec v|^2=a^2(5+4\cos26^\circ)$$Диагонали имеют направления $\vec p=\vec u+\vec v$ и $\vec q=\vec v-\vec u$. Вычислим их скалярное произведение и длину второй диагонали.
$$\vec p\cdot\vec q=|\vec v|^2-|\vec u|^2=4a^2(1+\cos26^\circ)=8a^2\cos^2 13^\circ$$Кроме того, $|\vec p|=2a$, а $|\vec q|=4a\cos13^\circ$. Поэтому косинус острого угла между диагоналями равен $\cos13^\circ$.
$$\cos\varphi=\frac{\vec p\cdot\vec q}{|\vec p|\,|\vec q|}=\frac{8a^2\cos^2 13^\circ}{2a\cdot4a\cos13^\circ}=\cos13^\circ$$Где здесь ошибаются
Неверно определяют угол между стороной $AB$ и диагональю $AC$, принимая его за $26^\circ$ вместо $154^\circ$.
Путают направления второй диагонали и используют неправильный вектор.
Указывают тупой угол между диагоналями вместо меньшего угла.