12
Решение: Длина отрезка AH
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИ3EE32EКороткий ответ≈ 4 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 77$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$:
$$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{77}{2} = 38{,}5$$2
По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $BHM$ и $BHC$:
$$BM^2 = BH^2 + MH^2, \quad BC^2 = BH^2 + HC^2$$3
Так как $BM = BC$, равны и квадраты этих отрезков. Пусть $AH = x$. Тогда $MH = x - 38{,}5$, а $HC = 77 - x$.
$$BH^2 + (x - 38{,}5)^2 = BH^2 + (77 - x)^2$$После сокращения $BH^2$ и решения уравнения получаем:
$$(x - 38{,}5)^2 = (77 - x)^2 \Rightarrow x - 38{,}5 = 77 - x \Rightarrow 2x = 115{,}5 \Rightarrow x = 57{,}75$$Ответ
57,75
57,75
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что медиана делит сторону $AC$ пополам.
Неверно выражают длины $MH$ и $HC$ через $AH$.
Приравнивают длины $MH$ и $HC$ без обоснования через теорему Пифагора.