Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 15$, $AC = 24$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$$
2. 2
   Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой. В прямоугольном треугольнике $ABM$ применяем теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$$

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{6}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\dfrac{1}{6}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{1}{6} = 60^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза меньше центрального:$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$

Угол правильного девятиугольника

$ABCDEFGHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $BAG$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол правильного девятиугольника равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
2. 2
   Дуга $BG$, не содержащая точку $A$, включает пять равных дуг:$$5\cdot 40^\circ=200^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $50$, $\tg \angle CAD = \dfrac{9}{20}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Используем значение тангенса угла и находим вторую сторону прямоугольника:$$CD = BC \cdot \dfrac{9}{20} = 50 \cdot \dfrac{9}{20} = 22{,}5$$
2. 2
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:$$S = BC \cdot CD = 50 \cdot 22{,}5 = 1125$$

Сторона равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $3$. Площадь треугольника $ABC$ равна $18\sqrt{2}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как $AB=BC$, медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой и делит основание пополам.$$AM=MC=\frac{AC}{2}$$
2. 2
   Найдём основание треугольника по формуле площади:$$18\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 3,\quad AC=12\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна 540. Один из катетов равен 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Выразим второй катет из формулы площади прямоугольного треугольника.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 540}{24} = 45$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{24^2 + 45^2} = \sqrt{2601} = 51$$

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ основания $AD = 6$, $BC = 1$. Площадь трапеции равна $42$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Пусть $h$ — высота трапеции. По формуле площади трапеции:$$42 = \dfrac{6 + 1}{2}h$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции:$$h = \dfrac{84}{7} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по углу

Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна 64.

1. 1
   Найдём сторону квадрата и, следовательно, сторону ромба. Если площадь квадрата равна 64, то$$a^2 = 64,\quad a = 8$$
2. 2
   Площадь ромба через сторону и острый угол вычисляется по формуле$$S = a^2\sin\alpha$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $21$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Если сумма двух равных углов равна $120^\circ$, каждый из них равен $60^\circ$.$$2\alpha = 120^\circ,\quad \alpha = 60^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. При угле $60^\circ$ этот треугольник равносторонний, поэтому сторона ромба равна меньшей диагонали.$$a = 21$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в окружности

В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $112^\circ$. Найдите величину угла $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку лучи $OC$ и $OA$ являются противоположными, а лучи $OD$ и $OB$ также являются противоположными, центральные углы $AOD$ и $AOB$ дополняют друг друга до $180^\circ$.$$\angle AOB=180^\circ-\angle AOD=180^\circ-112^\circ=68^\circ$$
2. 2
   Угол $ACB$ — вписанный, он опирается на дугу $AB$. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{68^\circ}{2}=34^\circ$$

Высота к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике катеты равны 7 и 24. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

1. 1
   Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:$$c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49+576} = 25$$
2. 2
   Выразим площадь треугольника двумя способами:$$S = \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 24 = \frac{1}{2}\cdot 25\cdot h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона треугольника по углу

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC = 3\sqrt{19}$, $AC = 5\sqrt{19}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $C$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   По теореме косинусов найдём квадрат стороны $AB$.$$AB^2 = (5\sqrt{19})^2 + (3\sqrt{19})^2 - 2 \cdot 5\sqrt{19} \cdot 3\sqrt{19} \cdot \cos 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 20$, $\cos A = 0{,}7$. Найдите высоту $CH$.

1. 1
   Рассмотрим площадь треугольника $ABC$, вычисленную через катеты:$$S = \dfrac{AC \cdot BC}{2}$$
2. 2
   Вычислим ту же площадь через гипотенузу $AB$ и высоту $CH$:$$S = \dfrac{AB \cdot CH}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $157^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла в точках касания, поэтому $\angle CAO = \angle CBO = 90^\circ$.$$\angle CAO = \angle CBO = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 157^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 50$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополняют внешние углы до $180^\circ$:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Углы при вершинах $A$ и $C$ равны, поэтому $AB = BC$, а биссектриса $BK$ является высотой. В прямоугольном треугольнике $ABK$ угол $A$ равен $30^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 45$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $112^\circ$, угол $CAD$ равен $70^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По теореме о вписанном угле дуга $ACD$, на которую опирается угол $ABC$, равна удвоенному углу $ABC$.$$\overset{\frown}{ACD}=2\cdot112^\circ=224^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому её величина равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\cdot70^\circ=140^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $3$, а $\tg A = \dfrac{3}{4}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM=3$$
2. 2
   По определению тангенса угла $A$ найдём отрезок $AM$.$$\tg A=\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{3}{AM}=\dfrac{3}{4},\quad AM=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 10 и 35. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 21. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.

1. 1
   Площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту к ней равна:$$S = 10 \cdot 21 = 210$$
2. 2
   Та же площадь через большую сторону и искомую высоту:$$S = 35h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 24$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $C$ является смежным с внешним:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Поскольку $AB = BC$, углы при основании равны, поэтому $\angle A = 30^\circ$, а $\angle B = 120^\circ$.

Ещё 3 шага — в полном решении