Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 12 и 15. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 5. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.

1. 1
   Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = ah_a = bh_b$$
2. 2
   Используем меньшую сторону и известную высоту, затем найдём высоту к большей стороне:$$12 \cdot 5 = 15 \cdot h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 32, площадь треугольника равна 192. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Выразим высоту треугольника из формулы площади:$$h=\dfrac{2S}{AC}=\dfrac{2\cdot192}{32}=12$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит основание пополам:$$AK=KC=\dfrac{32}{2}=16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 21$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Поскольку $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды выражается через радиус и центральный угол:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол в равнобедренном треугольнике

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $142^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $B$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle B = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$
2. 2
   Так как стороны $AC$ и $BC$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 38^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол при вершине треугольника

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $163^\circ$, угол $ABC$ равен $152^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Пусть $\angle BAC=\alpha$, а $\angle ACB=x$. По сумме углов треугольника $ABC$:$$\alpha+152^\circ+x=180^\circ$$
2. 2
   Так как $AL$ — биссектриса, $\angle CAL=\dfrac{\alpha}{2}$. В треугольнике $ALC$:$$\dfrac{\alpha}{2}+x+163^\circ=180^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 8, $\tg \angle CAD = 0{,}25$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$. Так как $CD = AB = 8$, получаем:$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{8}{AD} = 0{,}25$$
2. 2
   Найдём длину стороны $AD$:$$AD = \frac{8}{0{,}25} = 32$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 10 и 75. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 45. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту равна:$$S = 10 \cdot 45 = 450$$
2. 2
   Пусть $h$ — высота, опущенная на большую сторону. Тогда:$$75h = 450$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 35. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведённая к основанию, является биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, поэтому косинус угла $ABK$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 11$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды выражается через радиус и центральный угол:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $27$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$. Поэтому из условия следует, что углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.$$\alpha=60^\circ,\quad \beta=120^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она образует с двумя сторонами равносторонний треугольник, так как углы при его основании равны $60^\circ$.$$d_{\text{меньшая}}=a$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Нахождение синуса по косинусу

Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1. 1
   Применим основное тригонометрическое тождество.$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
2. 2
   Подставим значение косинуса:$$\sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38^\circ$, угол $CAD$ равен $33^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По теореме о вписанном угле дуга $ADC$, на которую опирается угол $ABC$, в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot38^\circ=76^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому её величина равна:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot33^\circ=66^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 75$, $AC = 120$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{120}{2} = 60$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора найдём медиану $BM$.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{75^2 - 60^2} = \sqrt{5625 - 3600} = \sqrt{2025} = 45$$

Угол, опирающийся на диаметр

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 41^\circ$. Найдите величину угла $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ADB$, опирающийся на диаметр, прямой:$$\angle ADB = 90^\circ$$
2. 2
   В треугольнике $ADB$ найдём угол $DAB$:$$\angle DAB = 180^\circ - 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 59^\circ$, угол $2 = 38^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол при верхней вершине треугольника, смежный с углом $1$, учитывается через внешний угол. По теореме о внешнем угле треугольника угол $1$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.$$59^\circ = 38^\circ + (180^\circ - \angle 3)$$
2. 2
   Выразим угол $3$.$$\angle 3 = 180^\circ - 59^\circ - 38^\circ = 83^\circ$$

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 9 и 17, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции — перпендикулярная составляющая боковой стороны.$$h=10\sin150^\circ=10\cdot\frac{1}{2}=5$$
2. 2
   Используем формулу площади трапеции через основания и высоту.$$S=\frac{9+17}{2}\cdot5=13\cdot5=65$$

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 200, сторона $AB = 8$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{200}{8} = 25$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$, поэтому $CD = 8$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 44 и 76, боковая сторона равна 65. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований трапеции равна $76-44=32$. В равнобедренной трапеции с каждой стороны образуется отрезок длиной $32:2=16$.$$x=\frac{76-44}{2}=16$$
2. 2
   Высоту трапеции найдём по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 65 и катетом 16.$$h=\sqrt{65^2-16^2}=\sqrt{4225-256}=63$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 31$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$∠A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Поэтому применяем определение синуса.$$\sin 30^\circ = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{31}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $151^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$∠B = 180^\circ - 151^\circ = 29^\circ$$
2. 2
   Поскольку $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $∠A = ∠B = 29^\circ$.$$∠A = ∠B$$

Ещё 1 шаг — в полном решении