Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Сторона равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 29. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как медиана $BM$ одновременно является биссектрисой угла $B$, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC$.
2. 2
   Биссектриса делит угол $B$ пополам, поэтому $\angle ABM = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, значит $\triangle ABM$ прямоугольный.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 17^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим $|AB|=1$. Тогда по условию $|AC|=2$. Так как $CD \parallel AB$, угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равен $17^\circ$.$$|AB|=1,\quad |AC|=2,\quad \angle(AC,AB)=17^\circ$$
2. 2
   Вектор второй диагонали выражается через векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$:$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 8$. $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Поэтому $AM = MC = 4$.
2. 2
   Обозначим $AH = x$. Тогда $MH = 4 - x$, а $HC = 8 - x$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина отрезка в параллелограмме

В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$, если $BD = 15$.

1. 1
   Обозначим $\overrightarrow{AB}=\mathbf b$, $\overrightarrow{AD}=\mathbf d$. Тогда координатно-векторные положения точек можно записать так: $B=\mathbf b$, $D=\mathbf d$, а так как $M$ — середина $BC$, то $M=\mathbf b+\dfrac12\mathbf d$.$$M=\mathbf b+\dfrac12\mathbf d$$
2. 2
   Пусть $K$ лежит на отрезке $BD$ и имеет вид $K=(1-t)\mathbf b+t\mathbf d$. Поскольку $K$ лежит на $AM$, также $K=s\left(\mathbf b+\dfrac12\mathbf d\right)$.$$(1-t)\mathbf b+t\mathbf d=s\mathbf b+\dfrac{s}{2}\mathbf d$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $125$, сторона $AB = 10$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{125}{10} = 12{,}5$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD = AB = 10$, а прилежащий катет — $AD = 12{,}5$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{10}{12{,}5} = 0{,}8$$

Угол правильного восьмиугольника

$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $BHF$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного восьмиугольника, равен:$$\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ$$
2. 2
   Дуга $BF$, не содержащая вершину $H$, состоит из четырёх таких дуг:$$\angle BÔF=4\cdot45^\circ=180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ основания $AD = 8$, $BC = 5$. Площадь трапеции равна 13. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Диагональ $AC$ делит трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$, имеющие общую высоту к основаниям $BC$ и $AD$.$$S_{ABC}:S_{ACD}=BC:AD=5:8$$
2. 2
   Площадь всей трапеции состоит из площадей этих двух треугольников, поэтому доля площади треугольника $ABC$ равна $\dfrac{5}{5+8}$.$$S_{ABC}=13\cdot\frac{5}{5+8}=5$$

Средняя линия треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 5$, боковая сторона $BC = 13$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$BK \perp AC$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём половину основания:$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 4$, $\cos A = 0{,}75$. Найдите высоту $CH$.

1. 1
   Так как $CH \perp AB$, треугольник $BCH$ прямоугольный, а угол при вершине $B$ равен углу $B$ исходного треугольника. Удобнее использовать соотношение высоты к гипотенузе: $CH = BC \cdot \cos A$.$$CH = BC \cdot \cos A$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$CH = 4 \cdot 0{,}75 = 3$$

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $24$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   Найдём длину стороны ромба по периметру:$$a = \dfrac{24}{4} = 6$$
2. 2
   Сумма двух равных противоположных углов равна $120^\circ$, поэтому меньший угол ромба равен $60^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 14^\circ$ и $\angle BDC = 106^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как в трапеции $ABCD$ боковые стороны равны: $AB = CD$, трапеция равнобедренная. Поэтому углы при основании $AD$ равны:$$\angle DAB = \angle ADC$$
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ADC$ на углы $BDA$ и $BDC$:$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 14^\circ + 106^\circ = 120^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между пересекающимися хордами

В окружности проведены пересекающиеся хорды $AB$ и $KM$. Величина дуги $AK$ равна $42^\circ$, а величина дуги $BM$ равна $44^\circ$. Чему равен угол между хордами $AB$ и $KM$? Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Для угла, образованного пересекающимися хордами внутри окружности, используем формулу:$$\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{AK}+\overset{\frown}{BM}\right)$$
2. 2
   Подставим значения величин дуг:$$\alpha=\frac{1}{2}(42+44)=\frac{86}{2}=43^\circ$$

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 45^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 25. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшая дуга соответствует центральному углу $45^\circ$, то есть составляет $\frac{45}{360} = \frac{1}{8}$ длины окружности.$$\frac{l_{\text{меньш.}}}{L} = \frac{45}{360} = \frac{1}{8}$$
2. 2
   Найдём длину всей окружности по длине меньшей дуги.$$L = 25 \cdot 8 = 200$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна $27$, $\tg\angle CAD = 0{,}45$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$ прямоугольника.$$CD = AB = 27$$
2. 2
   По определению тангенса угла $CAD$ выразим длину стороны $AD$.$$\tg\angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{27}{AD} = 0{,}45$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна 14. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Так как сумма двух углов равна $120^\circ$, это равные острые углы:$$\alpha = \beta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. Он равнобедренный с углом между сторонами $60^\circ$, поэтому является равносторонним. Следовательно, меньшая диагональ равна стороне ромба:$$a = 14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите величину угла 3, если $\angle 1 = 65^\circ$, $\angle 2 = 51^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, углы при основании образованного треугольника равны углам 1 и 2.$$\alpha = 65^\circ,\quad \beta = 51^\circ$$
2. 2
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому$$\angle 3 = 180^\circ - 65^\circ - 51^\circ = 64^\circ$$

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $400$, сторона $AB = 14$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$:$$AD = \frac{400}{14} = \frac{200}{7}$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ противолежащий углу $CAD$ катет $CD$ равен $AB$, поэтому:$$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{14}{200/7} = \frac{98}{200} = 0{,}49$$

Сторона прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 48. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{24}{7}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$.$$AC = \dfrac{BC}{\tan A} = \dfrac{48}{24/7} = 14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в выпуклом четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 101^\circ$, $\angle D = 105^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Так как $AD = CD$, треугольник $ADC$ также равнобедренный. Поэтому углы при вершинах $A$ и $C$ четырёхугольника равны.$$\angle A = \angle C$$
2. 2
   Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + 101^\circ + \angle A + 105^\circ = 360^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике каждая из двух сторон равна 5, а третья сторона равна 8. Найдите длину медианы, проведённой к третьей стороне треугольника.

1. 1
   Две стороны треугольника равны, значит треугольник равнобедренный. Медиана к третьей стороне делит её пополам и является высотой.$$8 : 2 = 4$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 и катетом 4. По теореме Пифагора найдём медиану $m$.$$m^2 + 4^2 = 5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении