Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол при биссектрисе

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 76^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой, углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ являются смежными.$$\angle CMB = 180^\circ - \angle CMA$$
2. 2
   Найдём величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^\circ$, угол $CAD$ равен $74^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   По теореме о вписанном угле дуга, на которую опирается угол $ABC$, равна удвоенному углу $ABC$:$$\overset{\frown}{ADC}=2\angle ABC=2\cdot120^\circ=240^\circ$$
2. 2
   Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, поэтому:$$\overset{\frown}{CD}=2\angle CAD=2\cdot74^\circ=148^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между радиусами окружности

В угол с вершиной $C$, равный $71^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OA \perp AC$ и $OB \perp CB$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $ACOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 71^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 71^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA} = 2 \cdot 71^\circ = 142^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{DB} = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 2 и 14, боковая сторона, равная 1, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции равна перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 1 \cdot \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Подставим основания и высоту в формулу площади трапеции.$$S = \frac{2+14}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4$$

Сторона треугольника по углу

В треугольнике $ABC$ известно, что $BC=\sqrt{13}$, $AC=4\sqrt{13}$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $C$ и внешний угол при этой вершине в сумме дают $180^\circ$.$$∠C=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
2. 2
   По теореме косинусов найдём квадрат стороны $AB$.$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos∠C$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 26$. Найдите длину диаметра окружности.

1. 1
   Поскольку $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна радиусу окружности.$$AC = 2R\sin 30^\circ = R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина боковой стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 11$, $AC = 120$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{120}{2} = 60$$
2. 2
   Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора:$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 60^2 + 11^2 = 3600 + 121 = 3721$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол треугольника с биссектрисой

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $78^\circ$, угол $ABC$ равен $52^\circ$. Найдите величину угла $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Пусть угол $BAL=\angle LAC=x$. Тогда угол $BAC=2x$, поскольку $AL$ — биссектриса.$$\angle BAC=2x$$
2. 2
   Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$.$$2x+52^\circ+\angle ACB=180^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 12$, $\cos A = 0{,}5$. Найдите высоту $CH$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Из условия:$$\cos A = \frac{AC}{AB} = 0{,}5,\quad AC = \frac{AB}{2}$$
2. 2
   По теореме Пифагора:$$AB^2 = AC^2 + BC^2 = \frac{AB^2}{4} + 12^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его периметр равен $24$. Найдите меньшую диагональ ромба.

1. 1
   В ромбе сумма двух равных противоположных углов равна $240^\circ$, поэтому каждый из них равен $120^\circ$. Тогда меньший угол ромба равен $60^\circ$.$$2\alpha=240^\circ,\quad \alpha=120^\circ,\quad \beta=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$
2. 2
   Найдём сторону ромба по его периметру.$$a=\frac{24}{4}=6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $90$, $\tg \angle CAD = \dfrac{1}{15}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$, равного $BC$, к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{BC}{AD}$$
2. 2
   Используем данное значение тангенса и формулу площади прямоугольника.$$S = AD \cdot BC = 540$$

Сторона равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию $AC$, равна $11$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$∠ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, а сторона $AB$ является его гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 24, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба связана со стороной и острым углом соотношением $h = a\sin\alpha$.$$24 = a\sin 30^\circ = \frac{a}{2}$$
2. 2
   Находим сторону ромба:$$a = 48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $78^\circ$, угол $CAD$ равен $40^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $CBD$ и $CAD$ — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CD$, поэтому они равны.$$\angle CBD = \angle CAD = 40^\circ$$
2. 2
   Диагональ $BD$ делит угол $ABC$ на углы $ABD$ и $DBC$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол правильного девятиугольника

$ABCDEFGHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $ADC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол правильного девятиугольника, соответствующий одной стороне, равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
2. 2
   Угол $ADC$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $ABC$. Эта дуга содержит две стороны девятиугольника, поэтому её градусная мера равна:$$2\cdot 40^\circ=80^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение площадей треугольников

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=5:8$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?

1. 1
   У треугольников $ABC$ и $MBK$ общий угол $B$. Используем формулу площади через две стороны и угол между ними.$$S=\frac{1}{2}ab\sin B$$
2. 2
   Отношение площади малого треугольника к площади большого равно произведению отношений соответствующих сторон.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{16}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 2$, $AC = \sqrt{7}$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Обозначим через $O$ точку их пересечения.$$AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$$
2. 2
   Треугольник $AOB$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора найдём катет $BO$.$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{4 - \dfrac{7}{4}} = \dfrac{3}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $46$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании и внешний угол образуют развернутый угол:$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Медиана $BM$ в равнобедренном треугольнике является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 61$, $AC = 22$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам: $AH = HC = 11$.$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 11$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту $BH$:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{61^2 - 11^2} = \sqrt{3600} = 60$$

Ещё 1 шаг — в полном решении