Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 104^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим $AB = a$. Тогда $AC = 2a$. Угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равен $104^\circ$.$$AC=2a,\quad AB=a$$
2. 2
   Поскольку $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$, найдём длину диагонали $BD$.$$BD^2=AC^2+4AB^2-4\,AC\cdot AB\cos104^\circ=8a^2(1-\cos104^\circ)$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 14$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$: $AM = MC = 7$.
2. 2
   Обозначим $AH = x$. Тогда $MH = x - 7$, а $HC = 14 - x$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Синус угла в окружности

На окружности радиуса 5 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 8$. Найдите $\sin \angle ABC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2R = 2 \cdot 5 = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $117$, сторона $BC = 15$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Так как противоположные стороны прямоугольника равны, $AD = BC = 15$.
2. 2
   Из формулы площади прямоугольника найдём сторону $CD$:$$CD = \frac{S}{AD} = \frac{117}{15} = 7{,}8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр параллелограмма

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 42 и 40. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Половины диагоналей ромба равны $21$ и $20$. Они образуют катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого является стороной ромба.$$a = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 15$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Поскольку $AB$ — диаметр, центральные углы $AOC$ и $COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Выразим длину хорды $AC$ через радиус окружности.$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 1 и 7, боковая сторона, равная 5, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 5\sin150^\circ$$
2. 2
   Вычислим высоту:$$h = 5\cdot\frac{1}{2}=2{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна 77. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании и внешний угол являются смежными:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана $BM$, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный, и $BC$ — его гипотенуза.

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $\cos A = 0{,}5$. Найдите высоту $CH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$\cos A = \frac{AC}{AB} = 0{,}5$$
2. 2
   Так как $BC = 10$ — катет, а угол $A$ имеет косинус $0{,}5$, гипотенуза в два раза больше катета $BC$: $AB = 20$. Тогда $AC = AB \cdot \cos A = 10$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 8\sin 150^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$
2. 2
   Вычислим площадь трапеции по формуле через основания и высоту.$$S = \frac{10+20}{2} \cdot 4 = 60$$

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 88, боковая сторона равна 53. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания. Получившийся прямоугольный треугольник имеет горизонтальный катет, равный половине разности оснований.$$x=\dfrac{88-32}{2}=28$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту трапеции.$$h=\sqrt{53^2-28^2}=\sqrt{2809-784}=45$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 42, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $42 - 12 = 30$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется между двумя боковыми прямоугольными треугольниками, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $15$.$$x = \dfrac{42 - 12}{2} = 15$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту трапеции.$$h = \sqrt{39^2 - 15^2} = \sqrt{1521 - 225} = 36$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол по диаметру окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 60^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA}=2\angle DBA=2\cdot60^\circ=120^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$. Найдём дугу $DB$.$$\overset{\frown}{DB}=180^\circ-120^\circ=60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 7$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Поэтому все его стороны равны $7$.$$AB = BC = CD = DA = 7$$
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle A = \angle C$. Из условия следует:$$\angle A + \angle C = 120^\circ,\quad \angle A = \angle C = 60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между биссектрисой и лучом

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 66^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$$
2. 2
   Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, значит, он делит этот угол пополам.$$\angle DMB = \dfrac{114^\circ}{2} = 57^\circ$$

Биссектриса угла на прямой

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 122^\circ$. Найдите величину угла $DMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $CMA$ и $CMB$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$$
2. 2
   Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, поэтому он делит этот угол пополам.$$\angle DMB = \dfrac{\angle CMB}{2} = \dfrac{58^\circ}{2} = 29^\circ$$

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $157^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$B = 180^\circ - 157^\circ = 23^\circ$$
2. 2
   Так как стороны $AC$ и $BC$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны: $A = B = 23^\circ$.$$A = B = 23^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 7$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен 24. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому он является средней линией треугольника и равен половине основания $AC$.$$AC = 2MN = 2 \cdot 24 = 48$$
2. 2
   Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам.$$AK = \frac{AC}{2} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $24$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   Противоположные углы ромба равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, имеют величину $120^\circ$ каждый. Остальные два угла равны $60^\circ$.$$240^\circ : 2 = 120^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. Угол между сторонами равен $60^\circ$, поэтому этот треугольник равносторонний. Следовательно, сторона ромба равна меньшей диагонали: $a = 24$.$$a = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 139^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Положим $|AB|=1$. Тогда $|AC|=2$. Так как $\angle ACD$ равен углу между диагональю $AC$ и стороной $AB$, угол между соответствующими векторами равен $139^\circ$.$$|AB|=1,\quad |AC|=2,\quad \cos\angle(AC,AB)=\cos139^\circ$$
2. 2
   Выразим вторую диагональ через векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$:$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$

Ещё 3 шага — в полном решении