Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $340$, сторона $BC = 20$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AB$:$$AB = \dfrac{340}{20} = 17$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катеты равны $CD = AB = 17$ и $AD = BC = 20$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен $40$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны. Поэтому сумма двух углов, равная $120^\circ$, означает, что каждый из этих углов равен $60^\circ$.$$\alpha = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Найдём длину стороны ромба по периметру.$$a = \frac{40}{4} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 66$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренний угол треугольника, смежный с внешним углом $150^\circ$, равен $30^\circ$. Поэтому $\angle A = \angle C = 30^\circ$, а $\angle B = 120^\circ$.$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Углы при основании равны, значит, $AB = BC = 66$. Биссектриса $BK$ в равнобедренном треугольнике является медианой и высотой.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 15, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба связана с его стороной и острым углом формулой:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{15}{1/2} = 30$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 22. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Поэтому $\angle ABK = 60^\circ$.$$\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, причём $BK=22$ является катетом, прилежащим к углу $60^\circ$, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина гипотенузы треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 9. Тангенс угла $A$ равен 0,75. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Для угла $A$ противолежащий катет — $BC$, а прилежащий катет — $AC$. Поэтому$$\tan A = \frac{BC}{AC}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$:$$0{,}75 = \frac{9}{AC},\quad AC = \frac{9}{0{,}75} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия треугольника

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 48. Гипотенуза равна 50. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём меньший катет:$$b=\sqrt{50^2-48^2}=\sqrt{2500-2304}=\sqrt{196}=14$$
2. 2
   Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Наименьшая средняя линия соответствует меньшему катету:$$l=\frac{14}{2}=7$$

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{8}{15}$, $BC = 30$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ сторона $AC$ является противолежащей, а $BC$ — прилежащей.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$ по значению тангенса.$$AC = BC \cdot \tg B = 30 \cdot \dfrac{8}{15} = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 13, $\tg \angle CAD = 0{,}2$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$. При этом $CD = AB = 13$.$$\tg \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{13}{AD} = 0{,}2$$
2. 2
   Найдём вторую сторону прямоугольника:$$AD = \frac{13}{0{,}2} = 65$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 30, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{30}{1/2} = 60$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 30$, сторона $AB = 3\sqrt{34}$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO = \dfrac{AC}{2} = 15$.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора найдём катет $BO$:$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{(3\sqrt{34})^2 - 15^2} = \sqrt{306 - 225} = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона ромба по диагонали

Одна из диагоналей ромба равна 18, а его площадь равна 216. Найдите сторону ромба.

1. 1
   По формуле площади ромба найдём вторую диагональ.$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2 \cdot 216}{18} = 24$$
2. 2
   Половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна стороне ромба.$$a = \sqrt{\left(\dfrac{18}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $27$. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, а сторона $AB$ — его гипотенуза.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = \sqrt{109}$, $BC = 3$. Найдите $\tg A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора.$$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 109 - 3^2 = 100$$
2. 2
   Следовательно, $AC = 10$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $300$, сторона $AB = 12$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Найдём сторону $AD$ из формулы площади прямоугольника:$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{300}{12} = 25$$
2. 2
   В треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен $AB$, поэтому $CD = 12$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{12}{25} = 0{,}48$$

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 47^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим $|AB|=a$. Тогда по условию $|AC|=2a$. Так как $CD\parallel AB$, угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равен $47^\circ$.$$|AB|=a,\quad |AC|=2a,\quad \angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=47^\circ$$
2. 2
   Вторая диагональ выражается через эти векторы:$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 29$. Найдите длину диаметра окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна радиусу окружности:$$AC = 2R\sin\frac{60^\circ}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 70$, $AC = 84$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{84}{2} = 42$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{70^2 - 42^2} = \sqrt{4900 - 1764} = \sqrt{3136} = 56$$

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 20, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin 30^\circ$$
2. 2
   Так как $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{20}{\sin 30^\circ} = \dfrac{20}{1/2} = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 14$. Отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $48$. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Так как $MN$ — средняя линия треугольника, она равна половине основания $AC$.$$AC = 2MN = 2 \cdot 48 = 96$$
2. 2
   Медиана $BK$ делит основание пополам, поэтому $AK = 48$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой.

Ещё 1 шаг — в полном решении