Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 65$, $AC = 104$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам:$$AM = MC = \dfrac{104}{2} = 52$$
2. 2
   Медиана $BM$ является высотой, поэтому в прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{65^2 - 52^2} = \sqrt{4225 - 2704} = \sqrt{1521} = 39$$

Радиус окружности по хорде

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 8$, $BC = 15$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 19^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим $AB=CD=a$, тогда $AC=2a$. Введём векторы $\vec u=\vec{AC}$ и $\vec d=\vec{AD}$. Так как $\angle ACD=19^\circ$, имеем$$\vec u\cdot(\vec d-\vec u)=-|\vec u|\cdot|\vec d-\vec u|\cos19^\circ=-2a^2\cos19^\circ$$
2. 2
   Следовательно, скалярное произведение векторов сторон равно$$\vec u\cdot\vec d=4a^2-2a^2\cos19^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120°$, $AB = 29$. Найдите $BD$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма перпендикулярны, значит, этот параллелограмм является ромбом. Следовательно, $AB = BC = CD = DA = 29$.
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle A = \angle C = 60°$.$$\angle A = \angle C = \frac{120°}{2} = 60°$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $19^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $ACBO$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 19^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $\sqrt{17}$, а один из катетов равен $1$.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{(\sqrt{17})^2-1^2}=\sqrt{17-1}=4$$
2. 2
   Вычислим площадь прямоугольного треугольника:$$S=\frac{1}{2}\cdot1\cdot4=2$$

Гипотенуза по средней линии

Катет прямоугольного треугольника равен 24, одна из средних линий равна 3,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому второй катет равен:$$b = 2 \cdot 3{,}5 = 7$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$$

Средняя линия трапеции

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 15$, $BC = CD = 17$ (см. рисунок). Найдите среднюю линию трапеции.

1. 1
   Опустим из точки $C$ перпендикуляр на основание $AD$. Получившийся прямоугольный треугольник имеет высоту $15$ и гипотенузу $CD = 17$.$$x = \sqrt{CD^2 - AB^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{64} = 8$$
2. 2
   Нижнее основание состоит из верхнего основания и найденной горизонтальной проекции.$$AD = BC + x = 17 + 8 = 25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 9 и 19, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 8\sin150^\circ = 8\cdot\frac{1}{2}=4$$
2. 2
   Используем формулу площади трапеции.$$S=\frac{9+19}{2}\cdot4=14\cdot4=56$$

Стороны параллелограмма по диагонали

Обе диагонали параллелограмма равны 25. Одна из сторон параллелограмма равна 7. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   Так как диагонали параллелограмма равны, данный параллелограмм является прямоугольником.$$d^2 = a^2 + b^2$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём другую сторону:$$b = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$$

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 26$, $AC = 20$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.$$AO = \dfrac{AC}{2} = 10,\quad BO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора найдём половину диагонали $BD$.$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{576} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в выпуклом четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 61^\circ$, $\angle D = 151^\circ$. Найдите величину угла $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBD$. У них $AB = BC$, $AD = CD$, а сторона $BD$ общая, поэтому треугольники равны по трём сторонам.$$AB=BC,\quad AD=CD,\quad BD=BD$$
2. 2
   Из равенства треугольников следует, что диагональ $BD$ делит углы $B$ и $D$ пополам.$$\angle ABD=\frac{61^\circ}{2}=30{,}5^\circ,\quad \angle ADB=\frac{151^\circ}{2}=75{,}5^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 4$, $AC = 2\sqrt{3}$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$$
2. 2
   Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{2}{4} = 0.5$$

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 42, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $42-12=30$. В равнобедренной трапеции она поровну распределяется по краям, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $30:2=15$.$$x=\frac{42-12}{2}=15$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту трапеции.$$h=\sqrt{39^2-15^2}=\sqrt{1521-225}=36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия треугольника

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 12. Гипотенуза равна 15. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

1. 1
   Обозначим второй катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 12^2 = 15^2$$
2. 2
   Находим второй катет:$$x^2 = 225 - 144 = 81,\quad x=9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наименьшая средняя линия

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 30. Гипотенуза равна 34. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{34^2-30^2}=\sqrt{1156-900}=16$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне, равна половине этой стороны. Наименьшая средняя линия соответствует меньшему катету:$$m=\frac{16}{2}=8$$

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $\cos A = 0{,}6$. Найдите длину стороны $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса:$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 20 \cdot 0{,}6 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 40$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 20$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора найдём медиану $BM$.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{225} = 15$$

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 6$, $BC = 5$, а её площадь равна 22. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Площадь трапеции выражается через основания и высоту:$$22 = \dfrac{6 + 5}{2} \cdot h$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции:$$h = \dfrac{44}{11} = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 75$, $AC = 21$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{75^2 - 21^2} = \sqrt{5184} = 72$$
2. 2
   Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{72}{75} = \dfrac{24}{25} = 0{,}96$$