Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 58$, $AC = 84$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Его диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, применяем теорему Пифагора.$$\left(\dfrac{AC}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2 = AB^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 20$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $21$. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому это средняя линия треугольника. Она равна половине основания:$$AC = 2MN = 2 \cdot 21 = 42$$
2. 2
   Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам:$$AK = \frac{AC}{2} = 21$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами окружности

В угол с вершиной $C$, равный $72^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла в точках касания, поэтому углы $OAC$ и $OBC$ равны $90^\circ$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 72^\circ - 90^\circ - 90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между пересекающимися прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 129^\circ$, $\angle 2 = 1^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, острый угол между первой секущей и горизонтальными прямыми равен углу, смежному с $\angle 1$.$$180^\circ - 129^\circ = 51^\circ$$
2. 2
   Угол $\angle 2$ показывает, что вторая секущая отклонена от горизонтального направления на $1^\circ$. Поэтому угол между двумя секущими равен разности полученных углов.$$\angle 3 = 51^\circ - 1^\circ = 50^\circ$$

Синус угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 16$, диагональ $BD = 12$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO = \dfrac{AC}{2} = 8$, а $BO = \dfrac{BD}{2} = 6$.$$AO = 8,\quad BO = 6$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. Его гипотенуза $AB$ является стороной ромба.$$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $45$, $\tg \angle CAD = \dfrac{4}{5}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю $AC$, тангенс угла $CAD$ равен отношению сторон прямоугольника.$$\tg \angle CAD = \dfrac{AD}{BC}$$
2. 2
   Находим вторую сторону прямоугольника.$$AD = 45 \cdot \dfrac{4}{5} = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 117^\circ$, угол $2 = 24^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Найдём угол, смежный с углом $1$:$$180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$$
2. 2
   Из-за параллельности прямых соответствующий угол при пересечении второй секущей равен $63^\circ$. Угол $3$ получается после вычитания угла $2$:$$\angle 3 = 63^\circ - 24^\circ = 39^\circ$$

Площадь ромба по диагонали

Сторона ромба равна 13, одна из его диагоналей равна 24. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина известной диагонали равна:$$\frac{24}{2}=12$$
2. 2
   Половину второй диагонали найдём по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике со стороной ромба в качестве гипотенузы:$$x=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между параллельными прямыми

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите угол $3$, если угол $1 = 31^\circ$, угол $2 = 106^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол наклона второй секущей к направлению параллельных прямых равен$$180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$$
2. 2
   Угол между двумя секущими равен разности полученных углов наклона:$$\angle 3 = 74^\circ - 31^\circ = 43^\circ$$

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $2$, а $\tg A = 0{,}4$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AM = MC$.$$AC = 2AM$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и найдём длину половины основания.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM},\quad AM = \dfrac{BM}{\tg A} = \dfrac{2}{0{,}4} = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 8$, $BC = 3$, а её площадь равна 77. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Диагональ $AC$ разделяет трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$, имеющие общую высоту к основаниям $BC$ и $AD$.$$S_{ABC}:S_{ACD}=BC:AD=3:8$$
2. 2
   Сумма площадей треугольников равна площади трапеции, поэтому площадь треугольника $ABC$ составляет $\frac{3}{3+8}$ площади трапеции.$$S_{ABC}=77\cdot\frac{3}{11}=21$$

Косинус угла треугольника

На окружности радиуса 32 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 8$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса:$$AB = 2 \cdot 32 = 64$$
2. 2
   Угол $ACB$ — прямой, поскольку он опирается на диаметр $AB$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус угла $BAC$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$:$$\cos \angle BAC = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{8}{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 6$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$$BC = \frac{AB}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120°$. Катет $AC = 17$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол являются смежными.$$A = 180° - 120° = 60°$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60° = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{17}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 48$, диагональ $BD = 14$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.$$AO = \dfrac{AC}{2} = 24, \quad BO = \dfrac{BD}{2} = 7$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём сторону ромба $AB$ по теореме Пифагора.$$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = 25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $133^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла в точках касания, поэтому углы $CAO$ и $CBO$ равны $90^\circ$.$$\angle CAO=\angle CBO=90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB=360^\circ-133^\circ-90^\circ-90^\circ=47^\circ$$

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 15, $\tg\angle CAD = 0{,}75$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg\angle CAD = \frac{CD}{AD}$$
2. 2
   Так как противоположные стороны прямоугольника равны, $CD = AB = 15$. Найдём длину стороны $AD$.$$0{,}75 = \frac{15}{AD},\quad AD = \frac{15}{0{,}75} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза по внешнему углу

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 50$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ в сумме дают $180^\circ$.$$∠A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $3$, а $\tg A = 0{,}6$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $AM=MC$ и $AC=2AM$.$$AC=2AM$$
2. 2
   Из прямоугольного треугольника $ABM$ найдём длину половины основания.$$\tg A=\frac{BM}{AM},\quad AM=\frac{BM}{\tg A}=\frac{3}{0{,}6}=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 45$, $AC = 72$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна стороне ромба, а катеты равны половинам диагоналей.$$45^2 = \left(\dfrac{72}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении