Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Биссектриса в параллелограмме

В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 6$, а периметр параллелограмма равен 30.

1. 1
   Из формулы периметра параллелограмма найдём длину стороны $BC$:$$2(AB + BC) = 30$$
2. 2
   Подставим $AB = 6$:$$BC = 15 - 6 = 9$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь трапеции по углу

Основания трапеции равны 9 и 17, боковая сторона, равная 10, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

1. 1
   Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h=10\sin150^\circ=10\cdot\frac{1}{2}=5$$
2. 2
   Используем формулу площади трапеции как произведение полусуммы оснований на высоту.$$S=\frac{9+17}{2}\cdot5=13\cdot5=65$$

Сторона равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию $AC$, равна 17. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, одновременно является биссектрисой угла при вершине $B$.$$∠ABK = \dfrac{∠ABC}{2} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, причём $AB$ — его гипотенуза, а $BK = 17$ — катет, прилежащий к углу $60^\circ$.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 96, боковая сторона равна 58. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции боковые стороны имеют одинаковые горизонтальные проекции. Каждая из них равна половине разности оснований:$$x = \dfrac{96 - 16}{2} = 40$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой трапеции и её горизонтальной проекцией. По теореме Пифагора найдём высоту:$$h = \sqrt{58^2 - 40^2} = \sqrt{1764} = 42$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между лучами

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 18^\circ$. Найдите угол $CMA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, угол $CMB$ вдвое больше угла $DMC$.$$\angle CMB = 2\angle DMC = 2\cdot18^\circ = 36^\circ$$
2. 2
   Точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой, поэтому смежные углы $CMA$ и $CMB$ в сумме равны $180^\circ$.$$\angle CMA = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 59. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. Косинус угла $ABK$ равен отношению прилежащего катета $BK$ к гипотенузе $AB$.$$\cos 60^\circ = \dfrac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в окружности

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 44^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому её мера вдвое больше угла.$$m(\overset{\frown}{DA}) = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, верхняя полуокружность $ADB$ имеет меру $180^\circ$. Найдём дугу $DB$.$$m(\overset{\frown}{DB}) = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 96, боковая сторона равна 58. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равнобедренной трапеции поровну распределяется по бокам. Горизонтальная проекция боковой стороны равна:$$x=\frac{96-16}{2}=40$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора:$$h=\sqrt{58^2-40^2}=\sqrt{3364-1600}=42$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна 12, а $\tg A = 2{,}4$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём длину половины основания:$$AM = \frac{BM}{\tg A} = \frac{12}{2{,}4}=5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние от точки до вершины

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$, у которого $AB = 15$ и $AD = 23$, отмечена точка $E$ так, что треугольник $ABE$ равнобедренный. Найдите $ED$.

1. 1
   В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна стороне $AD$, поэтому $BC = 23$. В треугольнике $ABE$ угол $ABE$ прямой, а треугольник равнобедренный, значит его равные стороны — катеты $AB$ и $BE$.$$BE = AB = 15$$
2. 2
   Найдём отрезок $EC$ на стороне $BC$:$$EC = BC - BE = 23 - 15 = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка KP

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 24$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 5. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведённая к основанию, является также медианой. Поэтому $K$ — середина $AC$ и $KC=12$.$$KC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{24}{2}=12$$
2. 2
   Расположим точки в координатной плоскости: $K=(0,0)$, $C=(12,0)$, $B=(0,5)$. Так как $P$ — середина $BC$, её координаты равны:$$P\left(\dfrac{0+12}{2};\dfrac{5+0}{2}\right)=(6;2{,}5)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 16$. Найдите $BD$.

1. 1
   В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем $\angle A = \angle C = 60^\circ$.$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
2. 2
   Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, поэтому его диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам. Угол $B$ равен $120^\circ$, значит угол между стороной $AB$ и диагональю $BD$ равен $60^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 25 и 39, боковая сторона равна 25. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна 14. В равнобедренной трапеции она поровну приходится на две боковые проекции:$$x=\dfrac{39-25}{2}=7$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции из прямоугольного треугольника с гипотенузой 25:$$h=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр ромба по диагоналям

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 48 и 20. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому их половины равны 24 и 10.

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $16$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании смежный с внешним углом, поэтому он равен:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Медиана $BM$ к основанию равнобедренного треугольника является высотой. В прямоугольном треугольнике $BMC$ сторона $BC$ — гипотенуза.$$\sin 30^\circ = \frac{BM}{BC}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = 0{,}6$. Гипотенуза $AB = 30$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 30 \cdot 0{,}6 = 18$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол в правильном восьмиугольнике

$ABCDEFGH$ — правильный восьмиугольник. Найдите угол $FCH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол правильного восьмиугольника равен:$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$$
2. 2
   Угол $FCH$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $FH$. Эта дуга содержит две стороны восьмиугольника, поэтому её центральный угол равен:$$2\cdot45^\circ=90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 75$, $\cos A = \dfrac{24}{25}$. Найдите длину стороны $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса угла $A$:$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = 75 \cdot \dfrac{24}{25} = 72$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Вписанный угол по длине дуги

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{17}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\dfrac{17}{36}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = \dfrac{17}{36} \cdot 360^\circ = 170^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла:$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{170^\circ}{2} = 85^\circ$$

Угол в треугольнике

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $86^\circ$, угол $ABC$ равен $73^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим угол $ACB$ через $x$. Тогда угол $A$ треугольника $ABC$ равен:$$\angle A = 180^\circ - 73^\circ - x = 107^\circ - x$$
2. 2
   Поскольку $AL$ — биссектриса, угол $LAC$ равен половине угла $A$:$$\angle LAC = \frac{107^\circ - x}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении