Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Высота к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 и 20. Найдите длину высоты, опущенной на гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы:$$c = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25$$
2. 2
   Выразим площадь прямоугольного треугольника через катеты и через гипотенузу и высоту:$$\frac{15 \cdot 20}{2} = \frac{25h}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 43$. Найдите $BD$.

1. 1
   В параллелограмме диагонали перпендикулярны, значит, этот параллелограмм является ромбом. Поэтому $AB = AD = 43$.
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны. Так как их сумма равна $120^\circ$, получаем:$$\angle A = \angle C = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 15$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$, поэтому $AM=MC=7{,}5$.$$AM=MC=\frac{AC}{2}=7{,}5$$
2. 2
   Обозначим $AH=x$. Тогда $HM=7{,}5-x$, а $HC=15-x$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Угол, опирающийся на дугу

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 63^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Вписанный угол $\angle DBA$ опирается на дугу $DA$, поэтому дуга $DA$ вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA} = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{ADB} = 180^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между биссектрисой и лучом

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 36^\circ$. Найдите угол $DMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB$ — прямая, углы $\angle CMA$ и $\angle CMB$ являются смежными.$$\angle CMB = 180^\circ - \angle CMA$$
2. 2
   Находим величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $23$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   Противоположные углы ромба равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $240^\circ$, являются тупыми и равны по $120^\circ$. Два других угла равны по $60^\circ$.$$360^\circ - 240^\circ = 120^\circ; \quad 120^\circ : 2 = 60^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба соединяет вершины острых углов. В треугольнике, образованном двумя сторонами ромба и меньшей диагональю, углы при вершинах ромба равны $60^\circ$, поэтому треугольник равносторонний. Следовательно, сторона ромба…$$a = 23$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 5$, медиана $BM = 3$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Так как $ABC$ — равнобедренный треугольник, медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам и является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AM = MC,\quad BM \perp AC$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём катет $AM$:$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина боковой стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 12$, $\tg \angle BAC = \dfrac{\sqrt{13}}{6}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Пусть $BH$ — высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $AH = HC = 6$.$$AH = \dfrac{AC}{2} = 6$$
2. 2
   Из определения тангенса угла $A$ найдём высоту $BH$.$$\tg \angle BAC = \dfrac{BH}{AH},\quad BH = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{13}}{6} = \sqrt{13}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 25$, $\sin A = \frac{7}{25}$. Найдите длину стороны $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению синуса угла $A$ найдём катет $BC$.$$\sin A = \frac{BC}{AB},\quad BC = 25 \cdot \frac{7}{25} = 7$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём длину катета $AC$.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$$

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 12^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 3. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшая дуга соответствует центральному углу $12^\circ$, то есть составляет $\dfrac{12}{360}$ длины окружности.$$l_{\text{меньш.}} = \dfrac{12}{360}C$$
2. 2
   Так как длина меньшей дуги равна 3, найдём длину окружности.$$C = 3 \cdot \dfrac{360}{12} = 90$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $60^\circ$, а его периметр равен 48. Найдите меньшую диагональ ромба.

1. 1
   Найдём сторону ромба по периметру:$$a=\dfrac{48}{4}=12$$
2. 2
   Сумма двух равных острых углов равна $60^\circ$, поэтому каждый из них равен $30^\circ$.$$\alpha=\dfrac{60^\circ}{2}=30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 2\sqrt{51}$, диагональ $BD = 14$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике с катетами $\dfrac{AC}{2}=\sqrt{51}$ и $\dfrac{BD}{2}=7$ гипотенуза равна стороне ромба $AB$.$$AB=\sqrt{(\sqrt{51})^2+7^2}=\sqrt{51+49}=10$$
2. 2
   В треугольнике $ABC$ сторона $BD/2$ является высотой к диагонали $AC$, поэтому для угла $BAC$ противолежащий катет равен $7$.$$\sin\angle BAC=\frac{7}{10}=0.7$$

Угол на прямой

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle DMC = 49^\circ$. Найдите величину угла $CMA$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Луч $MD$ является биссектрисой угла $CMB$, поэтому он делит этот угол на два равных угла.$$\angle DMB = \angle DMC = 49^\circ$$
2. 2
   Находим величину угла $CMB$.$$\angle CMB = 49^\circ + 49^\circ = 98^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 30$, площадь ромба равна 315. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Найдём вторую диагональ ромба по формуле площади.$$315 = \dfrac{30 \cdot BD}{2}$$
2. 2
   Отсюда длина второй диагонали равна $21$, поэтому $AO = 15$, $BO = 10{,}5$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.$$BD = \dfrac{2 \cdot 315}{30} = 21$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 25$, $AC = 30$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Проведём высоту из вершины $B$ к основанию $AC$. Она делит основание пополам, поэтому половина основания равна $15$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 15$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту треугольника.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{400} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вписанный угол и дуга

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{1}{9}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\dfrac{1}{9}$ длины окружности, поэтому её градусная мера равна:$$360^\circ \cdot \dfrac{1}{9}=40^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине её градусной меры:$$\dfrac{40^\circ}{2}=20^\circ$$

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 27$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Обозначим $AH=x$, $HC=y$. Так как $AC=27$, имеем:$$x+y=27$$
2. 2
   Точка $M$ — середина основания $AC$, поэтому расстояние от $H$ до $M$ равно:$$HM=\frac{|x-y|}{2}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Косинус угла равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 10$, медиана $BM = \sqrt{19}$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, медиана $BM$ к основанию $AC$ является высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$
2. 2
   Найдём катет $AM$ по теореме Пифагора.$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt{81} = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 125, сторона $AB = 5$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{125}{5} = 25$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ равен стороне $AB$, то есть $CD = 5$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 1^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $CD \parallel AB$, угол между векторами $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB}$ равен $1^\circ$. Обозначим $|AB|=a$, тогда $|AC|=2a$.$$\angle(\vec u,\vec v)=1^\circ,\quad |\vec u|=2a,\quad |\vec v|=a$$
2. 2
   Пусть $\vec u=\overrightarrow{AC}$, $\vec v=\overrightarrow{AB}$. Тогда $\overrightarrow{AD}=\vec u-\vec v$, поэтому для второй диагонали получаем $\overrightarrow{BD}=\vec u-2\vec v$.$$\overrightarrow{BD}=\vec u-2\vec v$$

Ещё 2 шага — в полном решении