Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Тангенс угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 40$, площадь ромба равна 480. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Найдём диагональ $BD$:$$S=\frac{AC\cdot BD}{2},\quad BD=\frac{2S}{AC}=\frac{2\cdot480}{40}=24$$
2. 2
   Диагонали ромба делятся пополам, поэтому $AO=20$ и $BO=12$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.$$AO=\frac{AC}{2}=20,\quad BO=\frac{BD}{2}=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 4\sqrt{39}$, диагональ $BD = 20$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO = 2\sqrt{39}$, $BO = 10$.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ найдём сторону ромба $AB$:$$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{(2\sqrt{39})^2 + 10^2} = \sqrt{156 + 100} = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренных треугольниках

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 128$ градусов, $\angle D = 158$ градусов. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Так как $AD = CD$, треугольник $ADC$ также равнобедренный. Следовательно, углы $A$ и $C$ четырёхугольника равны.$$\angle A = \angle C$$
2. 2
   Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360$ градусов.$$\angle A + 128 + \angle C + 158 = 360$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Биссектриса равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 54$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary с внешними углами:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Так как углы при основании равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса $BK$ является также высотой и медианой.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшая средняя линия

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.

1. 1
   Наибольшая сторона прямоугольного треугольника — гипотенуза. Найдём её длину по теореме Пифагора.$$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне, равна половине этой стороны. Поэтому наибольшая средняя линия равна половине гипотенузы.$$l = \dfrac{c}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$$

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 12$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополняют внешние углы до $180^\circ$:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому $AB = BC$. Биссектриса $BK$ делит угол $B$ пополам:$$\angle ABK = \frac{180^\circ - 30^\circ - 30^\circ}{2} = 60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $120°$, а его периметр равен $76$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   Сумма двух углов равна $120°$. Это могут быть равные противоположные углы, поэтому каждый из них равен $60°$.$$\alpha=\frac{120°}{2}=60°$$
2. 2
   Найдём длину стороны ромба по его периметру.$$a=\frac{76}{4}=19$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона параллелограмма по диагонали

Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
2. 2
   Диагональ прямоугольника, его сторона длиной 5 и соседняя сторона образуют прямоугольный треугольник.$$b^2 + 5^2 = 13^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между биссектрисой и лучом

На прямой $AB$ отмечена точка $M$. Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$. Известно, что $\angle CMA = 124^\circ$. Найдите величину угла $DMB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $CMA$ и $CMB$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle CMB = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$
2. 2
   Луч $MD$ — биссектриса угла $CMB$, поэтому он делит этот угол пополам.$$\angle DMB = \dfrac{\angle CMB}{2} = \dfrac{56^\circ}{2} = 28^\circ$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 16, площадь треугольника равна 48. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Найдём высоту треугольника, проведённую к основанию $AC$:$$h = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2 \cdot 48}{16} = 6$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит основание пополам:$$AD = DC = \dfrac{16}{2} = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 122^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 61. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Найдём градусную меру большей дуги:$$360^\circ - 122^\circ = 238^\circ$$
2. 2
   Длины дуг одной окружности пропорциональны величинам соответствующих центральных углов:$$\frac{x}{61} = \frac{238}{122}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника 54. Один из катетов 12. Найдите длину гипотенузы этого треугольника.

1. 1
   Выразим второй катет из формулы площади прямоугольного треугольника.$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 54}{12} = 9$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу.$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15$$

Наименьшая средняя линия

В прямоугольном треугольнике наибольший из катетов равен 15. Гипотенуза равна 17. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=8$$
2. 2
   Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Наименьшая сторона — катет длиной $8$.$$l_{\min}=\frac{8}{2}=4$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 21. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.$$BK=21$$
2. 2
   В образовавшемся прямоугольном треугольнике боковая сторона вдвое больше высоты.$$AB=2BK$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 42$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Поскольку $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому центральный угол, опирающийся на хорду $AC$, равен$$\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды выражается через радиус окружности:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{7}{18}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол, соответствующий дуге, составляет такую же долю полного угла, как длина дуги — длины окружности.$$\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{7}{18} = 140^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла.$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{140^\circ}{2} = 70^\circ$$

Длина боковой стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна $AC$. Найдите $AB$, если $BM = 18$, $AC = 160$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{160}{2} = 80$$
2. 2
   Медиана $BM$ перпендикулярна $AC$, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный с катетами $AM$ и $BM$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 25$, $\tg A = \dfrac{8}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит основание пополам. Поэтому расстояние от точки $A$ до основания высоты равно $\dfrac{25}{2}$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{25}{2}$$
2. 2
   По определению тангенса угла $A$ найдём высоту треугольника.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{h}{25/2} = \dfrac{8}{5},\quad h = \dfrac{25}{2} \cdot \dfrac{8}{5} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $121^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$B = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$$
2. 2
   Стороны $AC$ и $BC$ равны, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. Поэтому углы при основании равны: $A = B = 59^\circ$.$$A = B = 59^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 9 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 8. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 9 \cdot 8 = 72$$
2. 2
   Высота, проведённая к большей стороне, равна отношению площади к длине этой стороны.$$h = \dfrac{S}{12} = \dfrac{72}{12} = 6$$