Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол между пересекающимися хордами

В окружности проведены пересекающиеся хорды $AB$ и $KM$. Величина дуги $AK$ равна $38^\circ$, а величина дуги $BM$ равна $42^\circ$. Чему равен угол между хордами $AB$ и $KM$? Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Для угла, образованного пересекающимися хордами внутри окружности, применяем теорему: его величина равна половине суммы дуг, заключённых между сторонами этого угла и вертикального ему угла.$$\angle = \dfrac{\overset{\frown}{AK} + \overset{\frown}{BM}}{2}$$
2. 2
   Подставим значения величин дуг:$$\angle = \dfrac{38^\circ + 42^\circ}{2} = 40^\circ$$

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 4$, $BC = 2$, а её площадь равна $3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Пусть $h$ — высота трапеции. По формуле площади трапеции:$$3 = \dfrac{4 + 2}{2} \cdot h$$
2. 2
   Находим высоту трапеции:$$h = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наибольшая средняя линия

Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.

1. 1
   Наибольшая сторона прямоугольного треугольника — гипотенуза. Найдём её по теореме Пифагора.$$c=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=26$$
2. 2
   Средняя линия треугольника, параллельная стороне, равна половине этой стороны. Поэтому наибольшая средняя линия параллельна гипотенузе.$$m=\dfrac{c}{2}=\dfrac{26}{2}=13$$

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 44$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополнительны к внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Следовательно, $AB = BC = 44$, а угол $B$ равен:$$\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $165^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, так как радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.$$\angle CAO=\angle CBO=90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB=360^\circ-165^\circ-90^\circ-90^\circ=15^\circ$$

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 14 и 28. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 21. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Площадь параллелограмма через меньшую сторону и высоту к ней равна:$$S = 14 \cdot 21$$
2. 2
   Через большую сторону и искомую высоту площадь равна:$$S = 28h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 26$, $AC = 20$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому высота, проведённая к основанию $AC$, делит его пополам.$$AC_1 = C_1C = \dfrac{20}{2} = 10$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту треугольника.$$h = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана и высота треугольника

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 56$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$. Поэтому $AM=MC=28$.$$AM=MC=\frac{AC}{2}=28$$
2. 2
   Расположим основание $AC$ на координатной оси: $A(0,0)$, $C(56,0)$, $M(28,0)$, а $B(x,y)$. Поскольку $BH$ — высота, точка $H$ имеет координаты $(x,0)$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна 270. Один из катетов равен 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Площадь прямоугольного треугольника выражается через катеты:$$S = \dfrac{ab}{2}$$
2. 2
   Найдём второй катет:$$b = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 270}{15} = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $AC = 2\sqrt{51}$. Найдите $\sin A$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - (2\sqrt{51})^2 = 400 - 204 = 196$$
2. 2
   Следовательно, $BC = 14$. Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{14}{20} = 0{,}7$$

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 56$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ дополняют внешние до $180^\circ$:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB = BC$, а биссектриса $BK$ является высотой.

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 540, сторона $BC = 30$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $AD = BC = 30$, найдём высоту прямоугольника:$$AB = \frac{540}{30} = 18$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$:$$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{18}{30} = 0{,}6$$

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 28, боковая сторона равна 17. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $28-12=16$. В равнобедренной трапеции эта разность поровну распределяется по краям, поэтому горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна:$$x=\dfrac{28-12}{2}=8$$
2. 2
   Высоту трапеции найдём из прямоугольного треугольника с гипотенузой 17 и катетом 8:$$h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=15$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Меньшая боковая сторона трапеции

В прямоугольной трапеции основания равны 5 и 9, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.

1. 1
   Разность оснований равна горизонтальному отрезку между концами наклонной боковой стороны:$$9 - 5 = 4$$
2. 2
   Смежный с углом $135^\circ$ угол равен $45^\circ$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике угол при основании равен $45^\circ$, поэтому его катеты равны. Меньшая боковая сторона — это высота трапеции, значит она равна разности…$$h = 9 - 5 = 4$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 44$. Найдите длину гипотенузы $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол образуют развернутый угол.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньшая сторона трапеции

В прямоугольной трапеции основания равны 3 и 8, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.

1. 1
   Опустим высоту из вершины меньшего основания. Горизонтальный отрезок в получившемся прямоугольном треугольнике равен разности оснований.$$8 - 3 = 5$$
2. 2
   Угол при наклонной боковой стороне равен $45^\circ$, так как он дополняет угол $135^\circ$ до $180^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 41 и 69, боковая сторона равна 50. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $69-41=28$, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $28:2=14$.$$x=\frac{69-41}{2}=14$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора.$$h=\sqrt{50^2-14^2}=\sqrt{2500-196}=48$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Косинус угла в окружности

На окружности радиусом 10 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 11$. Найдите $\cos \angle BAC$.

1. 1
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса:$$AB = 2 \cdot 10 = 20$$
2. 2
   Угол $ACB$ прямой, так как он опирается на диаметр $AB$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ прямоугольника

Площадь прямоугольника равна 360, а одна из сторон равна 9. Найдите диагональ этого прямоугольника.

1. 1
   Найдём вторую сторону прямоугольника по формуле площади:$$b = \dfrac{S}{a} = \dfrac{360}{9} = 40$$
2. 2
   Диагональ прямоугольника найдём по теореме Пифагора:$$d = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41$$

Площадь равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 34$, $AC = 32$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам: $\frac{AC}{2} = 16$.$$AM = MC = 16$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту $BM$:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{900} = 30$$

Ещё 1 шаг — в полном решении