Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 5$, $AC = 8$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит его пополам и является высотой.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 4$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ и применим теорему Пифагора.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$$

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна $60$, $\tg \angle CAD = \dfrac{5}{24}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $AD$ равна стороне $BC$, поэтому $AD = 60$.$$AD = BC = 60$$
2. 2
   По определению тангенса угла $CAD$:$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{5}{24}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 80$, $AC = 128$. Найдите длину медианы $BM$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ к основанию $AC$ делит основание пополам:$$AM = MC = \dfrac{128}{2} = 64$$
2. 2
   Медиана к основанию равнобедренного треугольника является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $\angle AOB = 10^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 20. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Длина дуги пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Меньшая дуга с углом $10^\circ$ имеет длину 20.$$\frac{20}{L} = \frac{10}{360}$$
2. 2
   Находим длину всей окружности:$$L = 20 \cdot \frac{360}{10} = 720$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 2\sqrt{21}$, диагональ $BD = 4$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба.
2. 2
   Половина диагонали $AC$ равна $\sqrt{21}$, а половина диагонали $BD$ равна $2$.$$AO=\sqrt{21},\quad BO=2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника равен 12, одна из средних линий равна 2,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Средняя линия треугольника равна половине стороны, параллельной ей.$$b = 2 \cdot 2{,}5 = 5$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу прямоугольного треугольника.$$c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Синус угла в прямоугольнике

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $168$, $BC = 7$. Найдите синус угла $CAB$.

1. 1
   Из формулы площади прямоугольника найдём сторону $AB$:$$AB = \dfrac{168}{7} = 24$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора найдём диагональ $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагоналям

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 80 и 84. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то все его стороны равны. Следовательно, данный параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половины диагоналей равны $80:2=40$ и $84:2=42$.$$a=\sqrt{40^2+42^2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $\sqrt{41}$, а один из катетов равен 4.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b^2 = (\sqrt{41})^2 - 4^2 = 41 - 16 = 25$$
2. 2
   Следовательно, второй катет равен 5.$$b = \sqrt{25} = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 34$, $AC = 60$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB$ катеты равны половинам диагоналей:$$AB^2=\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 18$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы.$$BC = \dfrac{AB}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет по гипотенузе

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 12$. Найдите длину катета $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ является смежным с внешним углом:$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Поэтому:$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 1, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin 30^\circ$$
2. 2
   Так как $h=1$ и $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$, найдём сторону ромба:$$1 = a\cdot\frac{1}{2},\quad a=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол правильного девятиугольника

$ABCDEFGH I$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $DAC$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В правильном девятиугольнике центральный угол, опирающийся на одну сторону, равен:$$\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$$
2. 2
   Угол $DAC$ является вписанным и опирается на дугу $DC$, поэтому он равен половине соответствующего центрального угла:$$\angle DAC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ$$

Угол между радиусами окружности

В угол с вершиной $C$, равный $57^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$.$$\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $AOCB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 57^\circ = 123^\circ$$

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 10 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 6. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, проведённой к ней.$$S = 10 \cdot 6 = 60$$
2. 2
   Высота, проведённая к большей стороне, равна отношению площади к этой стороне.$$h = \dfrac{S}{12} = \dfrac{60}{12} = 5$$

Угол выпуклого четырёхугольника

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 55^\circ$, $\angle D = 137^\circ$. Найдите величину угла $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из равенств $AB = BC$ и $AD = CD$ следует, что четырёхугольник $ABCD$ является дельтоидом. Его противоположные углы при вершинах $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
2. 2
   Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle C + 55^\circ + 137^\circ = 360^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 20$, сторона $AB = \sqrt{109}$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Поэтому половина диагонали $AC$ равна $10$.$$AO = \dfrac{AC}{2} = 10$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ известны гипотенуза $AB$ и катет $AO$. Найдём второй катет:$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{109 - 100} = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана к гипотенузе

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 42$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 20. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$ к основанию является также медианой. Поэтому $KC = \dfrac{AC}{2} = 21$.$$KC = \frac{42}{2} = 21$$
2. 2
   Треугольник $BKC$ прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора найдём его гипотенузу $BC$.$$BC = \sqrt{BK^2 + KC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{841} = 29$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона треугольника по тангенсу

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 15. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{5}{12}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника:$$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём катет $AC$:$$\dfrac{5}{12}=\dfrac{15}{AC},\quad AC=\dfrac{15\cdot 12}{5}=36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении