Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Натуральные числа и делимость» — с ответами

Удаление цифр и делимость

Вычеркните в числе 32365427 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. Запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и на 4.
2. 2
   Рассмотрим число 32364, полученное вычёркиванием цифр 5, 4 и 2 из исходного числа 32365427.

Ещё 2 шага — в полном решении

Число, делящееся на 24

Найдите четырёхзначное число, большее 3500, но меньшее 4000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 24.

1. 1
   Ищем число в диапазоне от 3501 до 3999. Подберём число с суммой цифр 24 и проверим делимость на 24.
2. 2
   Число $3696$ удовлетворяет условию на сумму цифр:$$3+6+9+6=24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Четырёхзначное число кратное 36

Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 2400, которое делится на 36 и сумма цифр которого равна 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, делящееся на $36$, должно делиться на $4$ и на $9$.
2. 2
   У числа $2088$ сумма цифр равна $2+0+8+8=18$, поэтому оно делится на $9$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Число из цифр 2 и 0

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 30. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как $30=3\cdot10$, число должно делиться и на 3, и на 10.
2. 2
   Выберем шестизначное число, состоящее только из цифр 2 и 0 и оканчивающееся цифрой 0: $202020$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 600, которое при делении и на 3, и на 4, и на 5 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо.

1. 1
   Число при делении на 3, 4 и 5 даёт остаток 1, поэтому число, уменьшенное на 1, делится на каждое из чисел 3, 4 и 5.$$n-1 \vdots 3,\quad n-1 \vdots 4,\quad n-1 \vdots 5$$
2. 2
   Наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 5 равно 60. Значит, искомое число имеет вид:$$n=60k+1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Удаление цифр и делимость

Вычеркните в числе 59678406 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 60. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Так как $60 = 3 \cdot 20$, получившееся число должно делиться на 3 и на 20.
2. 2
   Для делимости на 20 число должно оканчиваться на 0 или 20, 40, 60, 80. Выберем цифры в исходном порядке так, чтобы последней цифрой остался 0.

Ещё 2 шага — в полном решении

Число, делящееся на цифры

Найдите натуральное число, большее 1340, но меньшее 1640, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $1368$: оно находится между $1340$ и $1640$, а его цифры $1$, $3$, $6$ и $8$ различны и не равны нулю.
2. 2
   Проверим делимость числа на каждую его цифру.$$1368:1=1368,\quad 1368:3=456,\quad 1368:6=228,\quad 1368:8=171$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Трёхзначное число кратное 70

Найдите трёхзначное число, кратное 70, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 20. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $210$. Оно является трёхзначным, и все его цифры различны.
2. 2
   Проверим кратность числа $70$:$$210 = 70 \cdot 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Трёхзначное число по свойствам

Найдите трёхзначное натуральное число $A$, обладающее тремя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 8; сумма цифр числа $A+1$ делится на 8; в числе $A$ сумма крайних цифр кратна средней цифре.

1. 1
   Обозначим цифры трёхзначного числа $A$ через $a$, $b$, $c$. Если $c\ne9$, то при прибавлении 1 сумма цифр увеличивается на 1. Две такие суммы не могут одновременно делиться на 8, поэтому $c=9$.
2. 2
   При $c=9$ и $b\ne9$ сумма цифр числа $A$ равна $a+b+9$, а сумма цифр числа $A+1$ равна $a+b+1$. Условия делимости на 8 дают $a+b+1\equiv0\pmod 8$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Трёхзначное число по цифрам

Найдите чётное трёхзначное натуральное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Подберём чётное трёхзначное число, то есть число с последней чётной цифрой. Рассмотрим число $124$.
2. 2
   Найдём сумму его цифр.$$1+2+4=7$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Число с делимой суммой цифр

Найдите трёхзначное число $A$, обладающее двумя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 10; сумма цифр числа $A + 8$ делится на 10.

1. 1
   Рассмотрим число $A = 893$. Сумма его цифр равна:$$8 + 9 + 3 = 20$$
2. 2
   Число 20 делится на 10, поэтому первое свойство выполнено.

Ещё 2 шага — в полном решении

Партии в настольный теннис

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 13 партий, а Коля — 27. Сколько партий…

1. 1
   При смене игроков после каждой партии число партий, сыгранных третьим игроком, равно разности между числами партий двух других игроков.$$L = K - M$$
2. 2
   Подставим данные из условия:$$L = 27 - 13 = 14$$

Четырёхзначное число с цифрами

Найдите четырёхзначное число, большее 7000, но меньшее 9000, которое делится на 50 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, делящееся на 50, должно оканчиваться на 00 или 50. Так как каждая следующая цифра должна быть меньше предыдущей, окончание 00 невозможно, поэтому последние цифры — 50.
2. 2
   Число больше 7000 и меньше 9000, значит первая цифра может быть 7 или 8. Для окончания 50 цифра сотен должна быть больше 5, а первая цифра — больше цифры сотен.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число из цифр 1 и 6

Найдите шестизначное натуральное число, которое делится на 24 и записывается только цифрами 1 и 6. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число делится на $24$, если оно делится одновременно на $3$ и на $8.
2. 2
   Проверим число $161616$ на делимость на $3$: сумма его цифр равна $21$, а $21$ делится на $3$.$$1+6+1+6+1+6=21=3\cdot7$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Пятизначное число с равными значениями

Найдите пятизначное натуральное число, кратное 5, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число должно быть кратно 5, поэтому его последняя цифра может быть $0$ или $5$. Выберем последнюю цифру $5$.
2. 2
   Рассмотрим число $21115$. Оно является пятизначным и оканчивается цифрой $5$, значит, кратно $5$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Четырёхзначное число и удвоение

Четырёхзначное число $A$ составлено из цифр 3, 4, 8, 9, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 6, 7, 8, 9. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$, большее 3500.

1. 1
   Так как $A > 3500$, его первая цифра может быть только 3 или 4. При умножении на 2 число $A$ должно дать число $B$, составленное из цифр 6, 7, 8, 9.
2. 2
   Перебирая перестановки цифр 3, 4, 8, 9 и учитывая переносы при умножении на 2, получаем подходящий вариант $A = 4398$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выпавшие страницы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 476, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Переставим цифры числа 476. Номер первой страницы после выпавших листов должен быть больше 476, а число выпавших страниц — чётным. Подходит число 647.
2. 2
   Выпавшие страницы начинаются с 477 и заканчиваются страницей 646, так как следующая страница имеет номер 647.$$646 - 477 + 1 = 170$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Выпавшие страницы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 254, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Переставляем цифры числа 254. Число после выпавших страниц должно быть больше 254. Из возможных перестановок подходит число 425: разность с 254 даёт нечётное число, поэтому между ними будет чётное количество страниц.$$425 - 254 = 171$$
2. 2
   Страницы от 255 до 424 включительно выпали. Их количество равно:$$425 - 254 - 1 = 170$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Удаление цифр для делимости

Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15.

1. 1
   Делимость на 15 означает одновременную делимость на 3 и на 5.
2. 2
   Выберем из исходного числа цифры 5, 3, 6, 4, 0, сохранив их порядок. Получаем число 53640.

Ещё 2 шага — в полном решении

Число из цифр 2 и 0

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Проверим число $222000$: оно является шестизначным и записывается только цифрами $2$ и $0.
2. 2
   Сумма цифр числа равна $2+2+2+0+0+0=6$, поэтому число делится на $3$.$$2+2+2+0+0+0=6$$

Ещё 2 шага — в полном решении