ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Натурал сандар және бөлінгіштік» — жауаптарымен

Сумма делителей произведения простых чисел

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $170$ представлено произведением различных простых чисел $2$, $5$ и $17$.$$170=2\cdot5\cdot17$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(5+1)(17+1)=3\cdot6\cdot18=324$$

Наибольшее одинаковое число

Найдите наибольшее трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами и делящееся на 74.

1. 1
   Трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, имеет вид $111a$, где $a$ — цифра от $1$ до $9$.$$111a$$
2. 2
   Разложим делитель и число на множители:$$74 = 2 \cdot 37, \qquad 111 = 3 \cdot 37$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число с заданными свойствами

Найдите четырёхзначное число, большее 1500, но меньшее 2000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Искомое число лежит в диапазоне от 1501 до 1999 и имеет вид $1abc$. Сумма его цифр должна быть равна 24.
2. 2
   Число 1968 подходит по сумме цифр:$$1+9+6+8=24$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Трёхзначное число с остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 9 даёт в остатке 1 и все цифры в записи которого нечётные. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как при делении на $4$ и на $9$ число даёт остаток $1$, оно должно иметь вид $36k+1$, поскольку $4$ и $9$ взаимно просты.$$n \equiv 1 \pmod{36}$$
2. 2
   Возьмём трёхзначное число $397$. Все его цифры нечётные: $3$, $9$ и $7$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Наибольшее число без девятки

Найдите наибольшее трёхзначное число, в записи которого не используется цифра 9 и которое нацело делится на 7.

1. 1
   Наибольшее трёхзначное число без цифры 9 — 888. Проверяем числа, начиная с него, в порядке убывания.
2. 2
   Число 882 делится на 7 без остатка:$$882 = 7 \cdot 126$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и разворот

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 2457. В ответе запишите какое-нибудь…

1. 1
   Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. Так как оно кратно 5, его последняя цифра равна $0$ или $5$. После разворота число должно остаться четырёхзначным, поэтому $d=5$.$$N=1000a+100b+10c+5$$
2. 2
   Число, полученное разворотом цифр, равно $\overline{5cba}$. По условию их разность равна 2457.$$(1000a+100b+10c+5)-(5000+100c+10b+a)=2457$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Число с заданными свойствами

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр.

1. 1
   Пусть искомое число имеет вид $100a+10b+c$, где $a$, $b$, $c$ — его цифры. По условию средняя цифра является средним арифметическим крайних:$$b=\dfrac{a+c}{2},\quad 2b=a+c$$
2. 2
   Остатки при делении на $8$ и на $5$ равны. Общий ненулевой остаток может быть только одним из чисел $1$, $2$, $3$, $4$. Проверим число $963$, которое удовлетворяет условию на цифры:$$6=\dfrac{9+3}{2}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число с заданными свойствами

Найдите натуральное число, большее 1000, но меньшее 1300, которое делится на 18 и сумма цифр которого равна 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Ищем число в диапазоне от 1000 до 1300 с суммой цифр 18. Число 1098 подходит: сумма его цифр равна$$1+0+9+8=18$$
2. 2
   Число 1098 делится на 18, поскольку оно делится на 2 и на 9: последняя цифра чётная, а сумма цифр равна 18.$$1098:18=61$$

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 5, и на 6 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе запишите…

1. 1
   Обозначим искомое число через $n$. Тогда числа $n-1$ должно делиться на 4, 5 и 6.
2. 2
   Наименьшее общее кратное чисел 4, 5 и 6 равно 60, поэтому $n-1$ кратно 60, а $n=60k+1$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число кратное 12

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим условие кратности 12 на признаки делимости на 3 и на 4.$$12=3\cdot4$$
2. 2
   Проверим число 4512: произведение его цифр равно 40.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число и цифры

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 1, 2, 6, 7, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 2, 3, 4, 5. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число…

1. 1
   Так как число $A$ больше 1500 и состоит из цифр 1, 2, 6, 7, достаточно проверить подходящие перестановки этих цифр.
2. 2
   Число $A = 1726$ удовлетворяет условию: при умножении на 2 получается четырёхзначное число, составленное из цифр 2, 3, 4, 5.$$2A = 2 \cdot 1726 = 3452$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 15 вопросов теста, а Ваня — на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 105…

1. 1
   Пусть тест содержит $x$ вопросов. Время работы Пети равно $\dfrac{x}{15}$ часа, а время работы Вани — $\dfrac{x}{24}$ часа.
2. 2
   Переведём 105 минут в часы: $105 : 60 = \dfrac{7}{4}$ часа. По условию разность времён равна $\dfrac{7}{4}$ часа.$$\dfrac{x}{15} - \dfrac{x}{24} = \dfrac{7}{4}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Количество вопросов в тесте

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 19 вопросов теста, а Ваня — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 9 минут…

1. 1
   Пусть тест содержит $n$ вопросов. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{n}{19}$ часа, а Ваней — $\dfrac{n}{20}$ часа.
2. 2
   Петя затратил на 9 минут больше. Переведём 9 минут в часы: $9\text{ мин} = \dfrac{9}{60} = \dfrac{3}{20}$ часа.$$\dfrac{n}{19} - \dfrac{n}{20} = \dfrac{3}{20}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Улитка на дереве

Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 2 м. Высота дерева 14 м. За какое наименьшее количество дней улитка доползёт до вершины дерева, начав путь от его основания?

1. 1
   После каждого полного дня и последующей ночи улитка продвигается на $4-2=2$ м. Перед последним подъёмом ночное сползание учитывать нужно только после предыдущих дней.$$4n-2(n-1)\ge14$$
2. 2
   Решим неравенство для количества дней:$$4n-2n+2\ge14,\quad 2n\ge12,\quad n\ge6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Викторина с штрафными очками

Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию набрано 75 очков:$$5x - 11y = 75$$
2. 2
   Преобразуем уравнение: $5x = 75 + 11y$. Левая часть и число 75 делятся на 5, значит, $11y$ и поэтому $y$ делится на 5.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 6 кг 30-процентного водного раствора вещества, добавили 4 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в исходном растворе:$$m = 6 \cdot 0{,}30 = 1{,}8\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса вещества не изменится, а масса раствора станет равной:$$M = 6 + 4 = 10\ \text{кг}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 14 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 378 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние в один конец равно $S$ км. Тогда общее расстояние составляет $2S$ км, а общее время движения равно сумме времён двух участков.$$t = \frac{S}{14} + \frac{S}{378}$$
2. 2
   Средняя скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему времени.$$v_{\text{ср}} = \frac{2S}{\frac{S}{14} + \frac{S}{378}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 11 кусков, если по жёлтым — 6 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько…

1. 1
   Если после распиливания получается $n$ кусков, то распилов было на один меньше: $n-1$.
2. 2
   Количество красных, жёлтых и зелёных линий соответственно равно:$$(11-1)+(6-1)+(7-1)=10+5+6=21$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 9 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 8 кусков. Сколько…

1. 1
   Чтобы получить $n$ кусков из одной палки, нужно сделать $n - 1$ распилов. Поэтому число линий каждого цвета на одну меньше числа получаемых кусков.
2. 2
   Количество красных, жёлтых и зелёных линий соответственно равно:$$9 - 1 = 8,\quad 12 - 1 = 11,\quad 8 - 1 = 7$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 12 минут, второй — за 54 минуты, а третий — за 1 час 48 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы третьего насоса в минут: $1$ час $48$ минут $= 108$ минут.
2. 2
   Найдём производительность каждого насоса в долях бака за минуту:$$v_1=\frac{1}{12},\quad v_2=\frac{1}{54},\quad v_3=\frac{1}{108}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде